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2013/08/18 14:36:36

ハズレ扉を開けるときのくせに関するバトル

挑戦者が選んだ扉が当たりのときにホストが開ける扉に癖があるとswitch して賞品を得る確率が 2 / 3 でなくなることを重大事とする人とそうでない人の間の論争について調べました。

ホストがハズレ扉を開けるときのくせに関する議論

挑戦者が選んだ扉が当りの時にホストが開ける扉に偏りがあるときのおさらい

モンティ・ホール問題を条件付確率の問題としてとらえた場合、例えば挑戦者が選んだ扉1が当たりのとき、ホストが扉3を開ける確率 (尤度） を q とし、扉2が当たりのとき、ホストが扉3を開ける確率 (尤度） を p (= 1) とすると、次のようになります。 
「扉1当り」と「扉2当り」の事前オッズ
     1対1
「扉3開ける」に関する「扉1当り」と「扉2当り」の尤度比
     q対p すなわち q対1
「扉3開ける」を証拠事象とする
「扉1当たり」と「扉2当り」の事後オッズ
     q対1
「扉3開ける」を証拠事象とする
「扉1当り」と「扉2当たり」の条件付き確率
     それぞれ q/(1+q), 1/(1+q)
したがって、qの値によって、扉1から扉2に switch して賞品を得る確率は 1/2 ～ 1 の間を変動します。

モンティ・ホール問題の問題文に尤度が明記されていないことに対する人々の態度

この問題に対する人々の態度や思想は以下に示すように様々です。
異なる思想の人同士でエンドレスの議論をしているのをインターネットで見かけることがあります。

うんちくの材料にする人

単に知識を披歴しているだけなのであまり害はありません。

ホストの扉の開け方に偏りがないことを無意識に仮定してはいけないという意見の人

標準仮定の中の 「ホストは挑戦者の選んだ扉が当たりのとき、ハズレ扉をランダムかつ等確率に選んで開ける」 という部分 (以下「等確率開扉の仮定」と呼ぶことにします) を当然のように考えてはいけないという意見です。

ホストの扉の開け方に偏りがないことを無意識に仮定してはいけないという意見に反論する人

統計数学の 「根拠不十分の原理」 をもとに、ホストが開ける扉の決め方に偏りがないとするのが自然であるとします。

尤度に関する統計データを取る人がいるのか考えているうちに、こんなことはどうでもよくなった人

Monty Hall が実際に行うゲームは毎日変わっていることを考えたり、自分が家族や友人にモンティ・ホール問題を実演したりしている状況を考えると、外れ扉の開け方の偏りに関する統計データの存在に期待できなくなります。

モンティ・ホール問題にゲーム理論を適用した結果を見て、こんなことはどうでもよくなった人

2013/07/03 にこの箇所を訂正・加筆しました。
モンティ・ホール問題にゲーム理論を適用すると 「等確率開扉の仮定」 を仮定した場合の結果と同等な結果に収斂することが Gill, Richard (2011).  によって示されています。
ホストが挑戦者が選んだ扉以外の扉に switch する権利が常に与えられて、挑戦者側が常に扉を switch する戦略をとった場合、ゲームを反復した総合成績で見ると、ホストが開けるハズレ扉の選び方の影響がなくなります。 これを読むとホストのくせなどどうでもよくなります。

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