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わかるモンティ・ホール問題
出来上がった標本空間（正確には場合分け）の図は次のようになりました。
これを使うと「問題のとらえ方」で上げた3つのとらえ方について、扉を switch すると賞品を得る確率を計算することができます。
まず、 「ホストがハズレの扉3を開いた」 という証拠事象の範囲だけ切り出します。
次に、確率の比率を変えずに、総和が1になるように調整します。
扉1から扉2にswitchして賞品を得るということは、扉2が当たりであるということなので、その確率は 2/3 となります。
このように、標本空間の一部を切り出して、切り出した範囲で改めて求めた確率のことを 「条件付き確率」 とか、 「事後確率」 と呼びます。
まず、 「ホストがハズレの扉2 あるいはハズレの扉3 を開いた」 という証拠事象の範囲だけ切り出します。
次に、確率の比率を変えずに、総和が1になるように調整します。(もともとそうなっているので見かけ上の変化はありません）
扉1から switchして賞品を得るということは、扉2 または扉3 が当たりであるということなので、その確率は 2/3 となります。
この場合も、求めた確率を 「条件付き確率」 あるいは 「事後確率」 と呼びます。
扉1から switchして賞品を得るということは、扉2 または扉3 が当たりであるということなので、その確率は 2/3 となります。
この場合は標本空間の一部を切り出したりしていないので、求めた確率を 「非条件付き確率」 と呼ぶ人もいます。
このように 標準仮定 の下では３つのとらえ方いずれも、答えの確率は 2/3 になりました。
その理由については次のページ 「なぜ答えが一致するのか」 で考えてみます。
なぜ答えが一致するのかに進む
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2013/12/23 13:14:09
初版 2012/03/03
わかるモンティ・ホール問題
(わかるモンティホールジレンマ)
答えの出し方
2013/06/15 に各とらえ方の表現を修正しました。出来上がった標本空間（正確には場合分け）の図は次のようになりました。
| 当扉1 | 当扉2 | 当扉3 | |
| 開扉1 | 当扉1, 開扉1 0 |
当扉2, 開扉1 0 |
当扉3, 開扉1 0 |
| 開扉2 | 当扉1, 開扉2 1/6 |
当扉2, 開扉2 0 |
当扉3, 開扉2 1/3 |
| 開扉3 | 当扉1, 開扉3 1/6 |
当扉2, 開扉3 1/3 |
当扉3, 開扉3 0 |
これを使うと「問題のとらえ方」で上げた3つのとらえ方について、扉を switch すると賞品を得る確率を計算することができます。
とらえ方① （ホストが開けた扉を特定して、 残った二つの扉それぞれが当たりである確率を求めようとする） の場合
この項は 2013/03/26 に修正しました。まず、 「ホストがハズレの扉3を開いた」 という証拠事象の範囲だけ切り出します。
| 当扉1 | 当扉2 | 当扉3 | |
| 開扉3 | 当扉1, 開扉3 1/6 |
当扉2, 開扉3 1/3 |
次に、確率の比率を変えずに、総和が1になるように調整します。
| 当扉1 | 当扉2 | 当扉3 | |
| 開扉3 | 当扉1, 開扉3 1/3 |
当扉2, 開扉3 2/3 |
扉1から扉2にswitchして賞品を得るということは、扉2が当たりであるということなので、その確率は 2/3 となります。
このように、標本空間の一部を切り出して、切り出した範囲で改めて求めた確率のことを 「条件付き確率」 とか、 「事後確率」 と呼びます。
とらえ方② （ホストが開けた扉は特定せずに、どれかの扉を開けたことだけ確認して、 挑戦者が選んだ扉が当たりである確率を求めようとする） の場合
この項は 2013/03/26 に修正しました。まず、 「ホストがハズレの扉2 あるいはハズレの扉3 を開いた」 という証拠事象の範囲だけ切り出します。
| 当扉1 | 当扉2 | 当扉3 | |
| 開扉2 | 当扉1, 開扉2 1/6 |
当扉3, 開扉2 1/3 |
|
| 開扉3 | 当扉1, 開扉3 1/6 |
当扉2, 開扉3 1/3 |
次に、確率の比率を変えずに、総和が1になるように調整します。(もともとそうなっているので見かけ上の変化はありません）
| 当扉1 | 当扉2 | 当扉3 | |
| 開扉2 | 当扉1, 開扉2 1/6 |
当扉3, 開扉2 1/3 |
|
| 開扉3 | 当扉1, 開扉3 1/6 |
当扉2, 開扉3 1/3 |
扉1から switchして賞品を得るということは、扉2 または扉3 が当たりであるということなので、その確率は 2/3 となります。
この場合も、求めた確率を 「条件付き確率」 あるいは 「事後確率」 と呼びます。
とらえ方③ （ホストがいずれかのハズレの扉を開けることは最初から決まっていることだとして、 switch すると当たる確率を求めようとする） の場合
標本空間をまるごと使います。| 当扉1 | 当扉2 | 当扉3 | |
| 開扉1 | 当扉1, 開扉1 0 |
当扉2, 開扉1 0 |
当扉3, 開扉1 0 |
| 開扉2 | 当扉1, 開扉2 1/6 |
当扉2, 開扉2 0 |
当扉3, 開扉2 1/3 |
| 開扉3 | 当扉1, 開扉3 1/6 |
当扉2, 開扉3 1/3 |
当扉3, 開扉3 0 |
扉1から switchして賞品を得るということは、扉2 または扉3 が当たりであるということなので、その確率は 2/3 となります。
この場合は標本空間の一部を切り出したりしていないので、求めた確率を 「非条件付き確率」 と呼ぶ人もいます。
まとめ
2013/08/02 にこの箇所を修正しました。このように 標準仮定 の下では３つのとらえ方いずれも、答えの確率は 2/3 になりました。
その理由については次のページ 「なぜ答えが一致するのか」 で考えてみます。
なぜ答えが一致するのかに進む
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