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標本空間の時系列階層分割の図法集

2013/07/28 に 「標本空間の分析」 という表現をやめて、「標本空間の分割」 に切り替えました。
それに合わせて表題も変更しました。

モンティ・ホール問題や3囚人問題のような事後確率の問題を解く場合、

• ①当り扉の配置や恩赦になる囚人の決定
• ②挑戦者による扉の選択や看守に質問する囚人の決定
• ③ホストによるハズレ扉の開扉や看守による処刑囚人の名明かし

の順に標本空間を分解する方法をとることが多い。
そして、以下のようにさまざまな図法が編み出されている。

一行一行が確率変数の値の組合せになっているが、全体を見ると時系列の階層分割になっている方法

 モンティ・ホール問題を作った Selvin, Steve (1975a). の方法

自動車のキーの入っている箱	挑戦者の選ぶ箱	Monte Hall が開ける箱	挑戦者のswitch	結果
A	A	B又はC	AからB又はC	負け
A	B	C	BからA	勝ち
A	C	B	CからA	勝ち
B	A	C	AからB	勝ち
B	B	A又はC	BからA又はC	負け
B	C	A	CからB	勝ち
C	A	B	AからC	勝ち
C	B	A	BからC	勝ち
C	C	A又はB	CからA又はB	負け

場合の数を数えると、switch して勝つ確率は 6 / 9 = 2 / 3 となる。

2013/09/13 に一部書き換えました。
この表の列が左から右に時間の流れに沿って配置されているので、「時系列分割」と言ってよいだろう。
「時系列の階層分割」 は 「条件付確率あるいは事後確率」 を計算するときに行うことが多いので、上の図のように 「時系列の階層分割」 でありながら　「非条件付き確率」 を計算しているのは珍しい。
しかし Steve Selvin 本人は 「標本空間」 を 「時系列」 に分割したつもりも、 「階層的」に分割したつもりもなくて、事象を分類したら、たまたま結果的に 「時系列の階層分割」 になっているのかも知れない。

斜めの線を使う方法

次の図のような斜めの線を使う方法である。



このような図を使う人は、下記のような用語を使うことが多い。

図法を表す用語	その用語の本来の分野
決定木  (注参照）	リスク・マネジメント  機械学習  データ・マイニング  など
樹形図	分野を特定しない
probability tree diagrams	統計数学

注： Wikipedia(日本語版) の 「決定木」 の記事 （2013年3月20日 (水) 00:29版） に掲載の図はずいぶんと毛色の違うものなので、上に示したような図を「決定木」と呼ぶ人は勘違いしているのかも知れない。

普通の表形式の方法

次の図のように枠線で囲った四角形を積み重ねる方法である。
縦方向に階層分割するなら、横幅が「確からしさ」に比例するように画き、
横方向に階層分割するなら、高さが「確からしさ」に比例するように画く。

扉3が 当たり	扉1が 当たり		扉2が 当たり
扉1を 選択	扉1を 選択		扉1を 選択
扉2をホストが開く	扉2を ホストが 開く	扉3を ホストが 開く	扉3をホストが開く

Wikipedia(英語版）の"Monty Hall problem"の記事をはじめとして、広く使われている。
このような図を使う人は、図法を表す用語を使わないことが多い。
こういう図法を数学で正式になんと呼ぶのかインターネットで検索しても筆者は見つけることができなかった。特に数学用語は決まっていないのかも知れない。

円グラフのような図を使う方法

市川 伸一, 下條 信輔. (2010).で紹介されている「ルーレット表現」が代表である。

文献

• 市川 伸一, 下條 信輔. (2010).
  3囚人問題研究の展開と意義をふり返って . 認知心理学研究. 2010, Vol. 7, No. 2, p.137-145 .
  
• Selvin, Steve (1975a).
  "A problem in probability" (letter to the editor). American Statistician 29(1): 67 (February 1975).
  

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