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モンティ・ホール問題 好きのホームページです。

モンティ・ホール問題 ( モンティホールジレンマ ) や 3囚人問題にまつわる、確率論 (標本空間やベイズ理論) や認知心理学にはまっています。 コーヒーとドーナツにも目がありません。
2011/11/03にこのホーム・ページを作りました。 以来 数年間、モンティ・ホール問題や3囚人問題にはまっていた成果をご披露します。
条件付確率や事後確率の話題、  確率の錯覚に関する認知心理学の話題、  モンティ・ホール問題の歴史、  等々、 徹底して調べた結果をご披露します。  二つの封筒問題や二人の子供問題などの類似の確率パズルについても調べています。
2013年9月ごろから二つの封筒問題に凝っていますが、 モンティ・ホール問題に関するページもときどき更新しています。
2016年にはモンティ・ホール問題の手短な解答集というページ、2017年には百個のドアFrank Jackson, Peter Menzies, and Graham Oppy の論文ある有名論文、そして 英語版Wikipediaの2分の3説というページなどを足しました。

目次トップ

モンティ・ホール問題関連の目次

モンティ・ホール問題 と3囚人問題についてまとめたページ

モンティ・ホール問題と3囚人問題   これは大きなページなのでパソコンでご覧ください。
モンティ・ホール問題 ( モンティホールジレンマ ) や3囚人問題について多面的に調べた結果です。

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初心者向けの解説ページ

わかるモンティ・ホール問題
インターネット上に山のようにある初心者向け解説ページとは、一味違う解説を試みました。

小学生にもわかるモンティ・ホール問題
場合分けも分数も使わない説明や、簡単な実験方法をお伝えします。

中学生にもわかるモンティ・ホール問題
モンティ・ホール問題の数学的な捉え方に種類があることを説明します。 まだ分数は使いません。

高校生にもわかるモンティ・ホール問題
モンティ・ホール問題の数学的な捉え方によって答えが違うことに対する人々の態度について説明します。

大人なら気をつけたいモンティ・ホール問題
モンティ・ホール問題でエンドレスの議論に巻き込まれる可能性について説明します。

何も考えないでモンティ・ホール問題を解く方法
モンティ・ホール問題は何も考えないで順繰りに場合分けをした方が悩まずに解けます。時間が掛かりますが自力で解く楽しみがあります。

百個のドア
モンティ・ホール問題のドアの数を100個に増やして説明すると答えに納得しやすいのは確かです。知り合いで実験して確かめました。
でも、そんなゲームを実際にやってみたらどうでしょうか?

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基本的なことを調べたページ

特に重要なサイトと文献集
モンティ・ホール問題を調べるに当って参考にしたサイトやブログの中で特に重要なものをご紹介します。

元祖モンティ・ホール問題
モンティ・ホール問題の問題文の元祖をご紹介します。

世界的モンティ・ホール問題
モンティ・ホール問題を世界的に有名にした問題文をご紹介します。

世界的モンティ・ホール問題のオリジナル
"Ask Marilyn" の世界的モンティ・ホール問題は、同コラムに投稿された問題文の一部でしかないらしい。

Web上のわかりやすい説明
ブログなどで見かけたわかりやすい説明を集めています。

わかりやすい説明を探しあぐねて
「最初に選んだ扉がハズレの確率が switch して賞品を得る確率だ」 という説明で満足できない人たちの遍歴の物語
モンティ・ホール問題と3囚人問題の  「第四部 モンティ・ホール問題の素人解法や素人説明のコレクション」 の  「ちまたで見かける「確率継承説」による説明]」 の項を除いた部分とほぼ同じ内容です。

モンティ・ホール問題のおまじない
数学的説明を理解しても不思議さが消えない人のためのおまじないの数々や、 無意識の確率判断能力への信頼を回復するためのおまじないなどを集めました。
モンティ・ホール問題と3囚人問題の  「第ニ部 モンティ・ホール問題と3囚人問題の認知心理学的検討」 の  「不思議さを払う「おまじない」の心理」 とほぼ同じ内容です。

確率継承説の間違い
挑戦者が選ばなかった扉の中から選んだ扉をホストが開けるので、 挑戦者が選ばなかった扉全体の確率が残った扉に継承されるという、 素人説明の間違いを、2011年7月8日23:55に放送されたNHKの「2355」での説明を例に、説明します。
モンティ・ホール問題と3囚人問題の  「第四部 モンティ・ホール問題の素人解法や素人説明のコレクション」 の  「ちまたで見かける「確率継承説」による説明]」 とほぼ同じ内容です。

ロシアンルーレット型モンティ・ホール問題
通常のモンティ・ホール問題と逆の当り扉が二つでハズレ扉が一つのロシアンルーレット型モンティ・ホール問題もある。

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モンティ・ホール問題や3囚人問題の説明方法各種

素事象を格子状に配置すれば標本空間がよくわかる
素事象を格子状に配置して標本空間を図示すれば、数学の確率の定義に添った説明ができるかも知れないという期待があります。

標本空間と扉空間を組み合わせる説明方法
扉空間と標本空間を組み合わせた説明シリーズ
モンティ・ホール問題の 「非条件付確率の問題設定」 での代表的な説明図と、 Wikipedia(英語版) の "Monty Hall problem" の記事の 「特定事象による条件付確率の問題設定」 での説明図の間に、 標本空間の図に扉空間の図を加えるとわかりやすくなるらしいという意外な共通点があります。

条件付き確率の標本空間と扉空間合体型説明方法の考案
扉空間と標本空間を組み合わせた説明シリーズ
標本空間に扉空間を組み合わせた条件付き確率の説明図をいくつか考案しました。

標本空間の時系列階層分割の図法集
標本空間の時系列階層分割の図法集を作ってみました。
旧タイトルは「標本空間の時系列階層分析の図法集」です。  · · · 分析から分割に変えました。

Wikipedia(ロシア語版)の説明図の特徴
ロシア語版の Wikipedia の図をよく見ると 「不特定な証拠事象による事後確率」 の説明図だ・・・・・・・と言ったことを説明しようとして 説明図を画き直したりしているうちに、この図が色々な特徴を持っていることに気付きました。

確率が 1/2 ではないことを背理法で論証
3囚人問題で質問した囚人が恩赦になる確率が 1/2 になるわけがないと、背理法で論証した人がいるらしい。 その人はMartin Gardner の読者だそうです。

原因の確率の図解の試み
「事後確率」を「原因の確率」として図解する方法を考えて見ました。

モンティ・ホール問題の手短な解答集
モンティ・ホール問題の確率の計算方法の手身近な解答をまとめてみました。

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モンティ・ホール問題や3囚人問題の心理学

日常の確率概念と数学の確率概念は似て非なるもの
モンティ・ホール問題を調べて見えて来たのは、日常の確率概念が数学の確率概念とは似て非なるものだということです。 その最大の特徴を私は 「客観確率幻想」 と呼んでいます。

Marilyn vos Savant に 数学の確率論に基づいて反論した博士はいなかったろう
Marilyn vos Savant に反論した博士たちは数学の確率論にもとづいて考えているのだが、 問題文が曖昧なため問題内容を誤解していたので答えが違ったのだという説があります。  しかし、良く調べれば、そういう説が誤りであることがわかります。

モンティ・ホール問題と自転車のパズルとの共通点
2010年に "Ask Marilyn"で 「1台の自転車を友人二人で交代で使っても、目的値に全員(二人)が着くまでの時間は短くならない」という理論をめぐって大激論になったらしい。 この理論に関する議論を見ていると、モンティ。・ホール問題での議論と共通点が見つかったので、ご披露します。

扉空間の魔力
三つの扉を思い浮かべながらモンティ・ホール問題の確率を考えていたら正解の答えと違う答えになって悩むことがあります。 原因は標本空間のことをすっかり忘れているからですが、私もついつい引っかかってしまいます。

対戦型モンティ・ホール問題はなぜ正答率が高いのか
標準型のモンティ・ホール問題より平成教育委員会型(対戦型)の方が正答率が高いのはなぜか、考えてみました。

ボクサー型モンティ・ホール問題は対戦型に似ているか
ボクサー型のモンティ・ホール問題の正答率が対戦型モンティ・ホール問題と同じように高い理由について考えました。

主観確率を論じたくなるわけ
「主観確率」 を論じたくなるわけを 「客観確率幻想」 の理論 その他で説明します。

ホストによるルール表明の有無を重視したくなるわけ
「ホストの言葉としてルールが表明されたか否か」 で答えが違ってくると述べる人たちの心理

戦略の空間は扉空間とは別の第ニの実体空間か
switch しないと心に決めた場合と、switch すると心に決めた場合とから構成される「戦略の空間」は、  「扉空間」 に替わる第ニの実体空間かも知れません。

確率の錯覚に共通の原理はあるか
モンティ・ホール問題の確率の錯覚とマンモグラフィー検査の確率の錯覚の共通点について調べてみました。

Marilyn vos Savant の誤りを証明したつもりの人たち
フロリダ州立大学の数学教授など Marilyn vos Savant の誤りを証明したとする人たちは、モンティ・ホール問題とは別の問題を持ち出して議論しています。

扉合体説と確率継承説の比較
扉合体説と確率継承説は、挑戦者が選ばなかった扉をグループ化するという点で似ていますが、それ以外の類似点もあります。

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モンティ・ホール問題や3囚人問題の数学

American Statistician 誌上での議論
Americam Statistician に掲載されたモンティ・ホール問題に関する資料を調べていたら、同じ号で誌上議論している様子が見えて来ました。

非条件付確率の解と条件付確率の解をつなぐもの
扉を switch して賞品を得る確率について、 ホストがどの扉を開くか考慮しないで求めた確率、すなわち 「非条件付確率の問題設定」 での確率と ホストがハズレの扉3を開いたという事象を証拠事象とする事後確率、すなわち 「特定事象による条件付確率 の問題設定」 での確率が一致する理由を図解しています。
このページは 事前確率と事後確率をつなぐもの というページをリニューアルしたものです。

賞金に三段階の序列を付けると場合の数で条件付き確率が計算できる
モンティ・ホール問題の賞品に三段階の序列を付けたり、 ボクサー型モンティ・ホール問題のボクサーの強さに三段階の序列を付けると なんと!、場合の数を数えるだけで条件付き確率が計算できる!

マルチステージ問題
switch の機会が何回か与えられる場合には、最後の1回で switch する戦略がベストらしい。

ハズレの賞品を区別して論じる方法が同じ問題を解いているか
Wikipedia(日本語版)の「モンティ・ホール問題」の記事の 「ハズレに色をつける方法」なる説明のように、 扉を区別しない代わりに ヤギなどのハズレの賞品を区別して論じる方法があります。
普通の説明との関係を考えると、同じ問題を解いているのか心配になったので確認して見ました。

最近流行りのオッズ形式
条件付確率を計算するとき、オッズ形式のベイズの定理で計算して最終的に確率数値を導く方法が、最近、流行っていることに 2013年4月に気づきました。

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ハズレ扉を開けるときのくせに関するバトル

ホストのハズレ扉の開け方に偏りがある場合シリーズ

均平に扉を開く方法
モンティ・ホール問題を家族や友人に実演するときに、挑戦者役の人が選ばなかった二つのうち一つを ホスト役の自分が偏りなく公平に開ける方法をご紹介します。

ハズレ扉を開けるときのくせに関するバトル
挑戦者が選んだ扉が当たりのときにホストが開ける扉に癖があると switch して賞品を得る確率が 2 / 3 でなくなることを重大事とする人とそうでない人のバトル

ホストに癖があっても switch で当たる確率が 2 / 3
挑戦者が選んだ扉が当たりのときにホストが開ける扉に癖があるという条件で、 場合の数を数えるだけで条件付き確率が計算できて、 しかも、switch して賞品を得る確率が 2 / 3 であるようなモンティ・ホール問題がありました。

モンティ・ホール問題にゲーム理論の考え方を適用
ささやかではありますが、モンティ・ホール問題にゲーム理論の考え方を適用してみました。
挑戦者が当たりを選んだときにまったくハズレ扉を開けない比率をホスト側の戦略として、モンティ・ホール問題にゲーム理論の考え方を適用してみました。

モンティ・ホール問題にゲーム理論の考え方を適用 その2
挑戦者が当たりの扉1を選んだときにホストが扉3 を開ける割合をホスト側の戦略として、モンティ・ホール問題にゲーム理論の考え方を適用してみました。

やっぱりswitch が有利
ホストがハズレ扉を開けるときの扉の選び方の癖がわかっている場合に、 その癖を考慮しながら挑戦者が扉を switch するかどうか決めたらどうなるか?
内容が モンティ・ホール問題にゲーム理論の考え方を適用 その2 と似ています。

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モンティ・ホール問題や3囚人問題の雑学

Web上の面白いページ
モンティ・ホール問題や3囚人問題に関連する面白いページを集めました。

モンティ・ホール問題で英語の勉強
Sachs 博士が Marilyn vos Savant に宛てた手紙や、その他の資料から英語の文例を学びます。

Marilyn vos Savant も間違えた
"Ask Marilyn"にモンティ・ホール問題を出題した人が出した別の問題に、 Marilyn vos Savant が間違った答えをしたのは モンティ・ホール問題を "Ask Marilyn" で取り上げる 2~3ヶ月ほど前のことでした。

「サーベロニ問題」という妙な名を思いついた生物学者
3囚人問題を 「サーベロニ問題」 と妙な名で呼ぶことを提案した生物学者は妙な学者ではありませんでした。

3囚人問題の囚人たちの名
囚人たちに名前がついている 3囚人問題の問題文を集めました。

ホストのいないモンティ・ホール問題のなぞ
モンティ・ホール問題を勘違いして、扉を switch するだけで当たる確率が 2倍になると考えたひとが、 ホスト抜きでシミュレーションしたら、本当にそうなった。
そんなバカな ! ! ! ! !

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モンティ・ホール問題や3囚人問題の間違えない問題文の工夫

間違えない問題文シリーズ

間違えない問題文
誰も間違えないモンティ・ホール問題の問題文を目指して、新しい問題文を考えて見ました。
扉という現象の空間でなく場合分けという事象の空間を意識させる問題文にしたら間違えなくなるでしょうか?

間違えない問題文 Ⅱ
扉や囚人のような実体の無い問題文にしたら間違えなくなるでしょうか?

間違えない問題文 Ⅲ
確率の問題ではなく、扉1が当たりと扉2が当たりのどちらが信憑性が高いかという問題にしたら間違えなくなるでしょうか?

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モンティ・ホール問題や3囚人問題でよく話題になる確率用語や確率解釈論

私流確率用語辞典
モンティ・ホール問題や 3囚人問題がらみの確率用語の私流の辞典を作ってみました。

私なりの確率分類法
私なりの確率解釈論で、 「客観確率」 や 「主観確率」 に代わる確率の分類方法を考えてみました。

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モンティ・ホール問題や3囚人問題にとってあまり重要でないページ

夕食問題各種
イカ、マグロ、サンマの組合せ以外の夕食問題を考えてみました。

「3人の殺し屋問題」 は 「モンティ・ホール問題」 と似ていないが面白い
「3人の殺し屋問題」 は3人の殺し屋が二人ずつ果し合いをする問題なので、ボクサー型のモンティ・ホール問題に似ているかと 思いきや全く似ていませんが、 確率パズルとしての面白みはあります。

大文字小文字で仮説事象と証拠事象を区別する書き方は楽だ
扉A が当たりの事象を A 、 ホストが扉A を開ける事象を a のように大文字小文字で 仮説事象を証拠事象を書くと、条件付き確率の計算式が格段に読みやすくなる。

認知的不協和の実験の錯覚はモンティ・ホール問題の錯覚に似ているか
イェール大学の経済学者 Chen 博士の、  「認知的不協和の実験をする心理学者がモンティ・ホール問題と同じような錯覚をしている」 と いう意見について 調べて見ました。

ベイジアンネットワークでモンティ・ホール問題を解いてみる
ベイジアンネットワークについて全く無知だったころに見つけた説明図だけを頼りに見よう見真似で確率を計算して見たときの記録です。

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以下はモンティ・ホール問題や3囚人問題に類似のパラドックスに関するページです。

二つの封筒問題に関するページ

モンティ・ホール問題にかこつけた二封筒問題シリーズ

多くの人がわかる · · · かもしれない二つの封筒問題
なるべく多くの人に二つの封筒問題をわかってもらうため、他の人の書いたページも紹介するなど、あの手この手で説明します。

二つの封筒問題の重要なサイトと文献集
二つの封筒問題に関して参考にした サイトや論文の中で特に重要なものをご紹介します。

二つの封筒問題に関するWeb上のわかりやすいページとおもしろいページ
二つの封筒問題に関して わかりやすく説明したり面白く議論しているWeb上のページを集めました。

二つの封筒問題のパラドックスたちとそのおまじない
「二つの封筒問題のパラドックスたち」と「二封筒問題のおまじない」を 2015/03/30 に合体
「二つの封筒問題」(Two envelopes problem) は「二つの封筒のパラドックス」( Two Envelope Paradox) とも呼ばれます。 しかしそのパラドックスは一つではありません。
「二つの封筒問題」 は人によって問題設定が異なったり、パラドックスだと感じる部分が異なったりします。 数学者たちは元々のパラドックスから遥かに離れた領域で議論しています。 こうした全体像を整理してみました。
また、二封筒問題のさまざまな説明の中に、数学的に怪しかったり、明らかに誤っていたり、 正しそうでも言う必要のないことを述べていたり、分析の途中で満足したりしているものがあります。 こうしたおまじないの数々をパラドックスたちと対応させながら整理してみました。、

二封筒問題のおまじないの王様 – 変数誤用説 –
選んだ封筒の金額から目をそむけ、二つの封筒の金額ペアの方に目を付けて納得しようとする おまじないは、「二封筒問題のおまじないの王様」と呼ぶべきほど高頻度で見かけます。  多くのケースで、変数の使い方の誤りがパラドックスの源だという主張と組み合さっています。
しかし最近 (2014/04/16) 私は、このおまじないを唱える人の 頭の中には全く別のパラドックスができあがっているらしいと思うようになりました。

二つの封筒問題の錯覚に気づかない人のために
確率の錯覚に気づいたところから「パラドックス」が始まるモンティ・ホール問題と異なり、 二封筒問題のパラドックスは確率の錯覚に気づかずに期待値を計算することから始まっています。 そして根本的な錯覚には気づかないまま的外れな議論を続けています。 このページではそういう人を迷いから覚ますことを試みました。
2014/01/02 に 「二封筒問題の説明を頭でも理解できない人がいる」 というページを廃止し、その内容を このページに加えました。
2014/01/21 に 「二つの封筒問題のもう一つの錯覚は手強い」 というページを廃止し、その内容を このページに加えました。

二封筒問題の数学
「封筒を開ける前に交換型」と「封筒を開けてから交換型」のニ封筒問題のそれぞれの錯覚現象について調べる前に、 二封筒問題の数学について基本を押さえました。

二つの封筒問題を心理学の問題として位置付ける人の少ないこと
選んだ封筒の金額が決まった後もどちらが高額側かの確率が半々のままだとすることが錯覚であることに 実例や確率論にもとづいて気づいた人たちの中に、 この錯覚現象に関する心理学的解明を中心課題としている人は多くありません。

どちらの二封筒問題がメジャーか
「封筒を開ける前に交換型」と「封筒を開けてから交換型」のニ封筒問題のどちらがメジャーか調べて見ました。

二封筒問題共通の錯覚現象とモンティ・ホール問題の錯覚との類似点
旧題:「封筒を開ける前に交換型の 二封筒問題にもモンティ・ホール問題と類似の錯覚がともなっている」
「封筒を開ける前に交換型」のニ封筒問題と、「封筒を開けてから交換型」の二封筒問題に共通する錯覚現象について、 モンティ・ホール問題で発生する錯覚と似ている点を論じます。

二封筒問題共通の錯覚現象とマンモグラフィの錯覚との類似点
ニ封筒問題の確率計算式をよく見ると「基準率」が重要な働きをしているので、 二封筒問題の錯覚現象は モンティ・ホール問題の錯覚現象よりもマンモグラフィの錯覚現象の方に近いと言えます。

封筒を開ける前に交換型の二封筒問題独自の錯覚現象
「封筒を開ける前に交換型」のニ封筒問題独自の錯覚現象について、 モンティ・ホール問題で発生する錯覚と似ている点などを論じます。

封筒を開けてから交換型の二封筒問題はモンティ・ホール問題にもっと似ている
封筒を開けてから交換型のニ封筒問題の確率の錯覚現象とティ・ホール問題の確率の錯覚現象の類似点を探すと、 封筒を開ける前に交換型の二封筒問題にないポイントが見つかりました。

変数誤用説の起源
Wikipedia(英語版)の "Two envelopes problem" の記事での変数誤用説の扱いの変遷も調べたり、  変数誤用説を唱える人たちが読んだ問題文を調べるために、このページを作りました。 それに伴い、 「二封筒問題のワーディング問題」 というページの内容を含む形になったので、「二封筒問題のワーディング問題」 のページを廃止しました。

二封筒問題のパラドキシカル分布
「封筒を開けた後に交換型」の二封筒問題で予算額に上限を付けないで金額分布を工夫すると不思議なことがおきるらしい。

パラドキシカル分布の数学
Jhon Norton の論文などを参考にして、パラドキシカル分布の数学を整理してみました。

パラドキシカル分布の謎
パラドキシカル分布を「封筒を開ける前に交換型」と「封筒を開けた後に交換型」の二封筒問題に当てはめたときの数学的混乱について、 考えたり、文献を調べたりしました。

パラドキシカル分布の交換期待倍率はどこまで大きくできるか
パラドキシカル分布の前後する金額ペアのオッズを近づけて、交換期待倍率を上げてみました。

Chalmers の論文
Chalmers の論文が連続金額分布の計算方法をよくまとめているので内容を整理してみました。

Christensen と Utts の論文
Christensen と Utts の論文が興味深いので内容を整理してみました。

Jhon D. Norton の論文に見る数列の和の項のグルーピング問題
金額に上限がないときの封筒を開ける前の期待値の計算式を数列の和と解釈したとき、 項のグルーピングによって総和が変わるという議論をしばしば見かけます。 Jhon D. Norton の論文にそうした考え方をパラドキシカル分布に応用した例を見ることができます。

Frank Jackson, Peter Menzies, and Graham Oppy の論文
1994年ごろから、一組の金額ペア だけで期待値を考えることが二つの封筒問題の解決だと考える哲学者が現れ初めました。 こうした哲学者たちの論文を調べているうちに、Frank Jackson, Peter Menzies, and Graham Oppy の論文がこうした風潮の切っ掛けとなったらしいことに気づいたので、内容を整理してみました。

ある論文
E = (1/2)a + (1/2)2a が正しい計算式だと考える人の書いた論文を調べているうちに ある論文が変数誤用説(期待値計算式の変数が項によって異なる値を意味しているという説)の先駆けだったらしいことがわかりました。 E = (1/2)a + (1/2)2a が正しい計算式だと考える人たちが少数派で、変数誤用説を唱える人はさらにその人たちの中で少数派ですが、それなりに重要な論文だと思うので、内容を整理してみました。

ある有名論文
ある有名論文が英語版 Wikipedia の記事の編集者に強い影響力を持っていたのではないかと思い、内容を整理してみました。

英語版Wikipediaの2分の3説
英語版の Wikipedia で "E=(1/2)2a + (1/2)a" 説の紹介の仕方の変遷をたどってみました。

別の論文
ある論文が引用している別の論文が興味深い内容を持っていました。それは「二組の金額ペア妄想説」 と 「変数誤用説」 の中間のような説でした。

理由不十分の原理を考えると
2014/01/14 に 「理由不十分の原理やゲームの反復を考えると」 というページを廃止して、理由不十分の原理に関する部分だけ抜き出してこのページを作りました。
「封筒を開けてから交換型」の二封筒問題であれば、「確率分布が分かっていない」ということを理由に 封筒を替えたときの期待値を論じることができそうな気がしてきます。

二封筒問題攻略法
Thomas M. Cover の論文 "Pick the largest number" で発案されたアイデアを二封筒問題に応用して、 攻略法を編み出そうとする試みがあります。

アリババ型二封筒問題は非対称
「アリババ型」の二封筒問題では Ali さんは常に交換すべきで、Baba さんは状況によるらしい。

サンクトペテルブルグ二封筒問題は封筒間独立型
Charmers という人が考えた「サンクトペテルブルグ二封筒問題」では封筒の中身の間に関連性が無いくせにパラドックスな面を持っています。

条件付き期待値の期待値の問題にすると新種のパラドックス発生?
条件付き期待値の期待値を求める式だったら 1/2 のままでも大丈夫な気がしますが、そうしたら新種のパラドックスができてしまいました。

清算型二封筒問題
封筒を交換した後で交換する前との差額が賞金になるタイプの二封筒問題があります。 差額がマイナスの時はその金額を差し出さねばならないので、ゲーム参加者の懐具合も関係してきそうです。

スマリヤンの二つの文のパラドックス
スマリヤンのパズル本に出てくる二つの封筒問題を題材とした二つの文 (あるいは二つの命題とその証明) が新たなパラドックスを醸し出しています。

二つの封筒問題の錯覚とスマリヤンの錯覚の源は一つか
二つの封筒問題の錯覚現象とスマリヤンの錯覚現象を見比べてみると、似た点が見えてきました。

大人なら気をつけたい二封筒問題
二封筒問題でもエンドレスの論争に巻き込まれることがあるので気をつけましょう。

「財布のゲーム」 のパラドックスと 「二つの封筒問題」 のパラドックスの違う点と似ている点
2014/04/22 に 「二財布問題は「封筒を開けてから交換型」の二封筒問題と同類」 というページを廃止しして、このページを作りました。
「財布のゲーム」 は数学的には 「二つの封筒問題」 とかなり異なっていますが、パラドックスの原因に関しては、類似の議論ができます。

数学ではなく実際問題としての二封筒問題
数学から離れて、実際のゲームとして考えてみました。

List of my pages written in English about the two envelopes problem
英語で書いたらより海外の人に読んでもらえるかと期待して、いくつかのページを書いてみましたが、 英語が下手なためか、期待外れだったようです。

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二人の子供問題に関するページ

モンティ・ホール問題にかこつけた二人の子供問題シリーズ

二人の子供問題の重要なサイトと文献集
二人の子供問題に関して参考にした サイトや論文の中で特に重要なものをご紹介します。

二人の子供問題に関するWeb上のわかりやすいページとおもしろいページ
二人の封筒問題に関して わかりやすく説明したり面白く議論しているWeb上のページを集めました。

あいまいなスミス氏の一族

子供が二人とも男の子である確率が 1/3 だか 1/2 だかあいまいなスミス氏の一族

現象型の二人の子供問題
2014/02/07 に 「男の子ありと判明経緯付きジョウンズ氏とスミス氏」 という表題を 「子供の性別が分かった経緯付きジョウンズ氏とスミス氏」 に改めました。
2014/02/08 に このページと内容のダブっていた 「あいまいなスミス氏」 というページを廃止しました。
2014/02/16 に 「子供の性別が分かった経緯付きジョウンズ氏とスミス氏」 という表題を 「現象型の二人の子供問題」 に改めました。
ジョウンズ氏やスミス氏に男の子や女の子がいることがどのような経緯で判明したかによって、確率が変わります。

スミス氏の子供問題と紛らわしい問題がある
一読するとスミス氏の子供問題のように思えて良く考えると違うものがありました。

二人の子供問題の類似問題をFalk先生がAsk Marilynに出した
確率の錯覚研究で有名な Falk先生も "Ask Mariln" の投稿者の一人でした。

数学以外の問題になってしまった二人の子供問題
問題文の言い回しによっても確率がかわります。 現象の背景にある情勢判断によっても確率がかわります。

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シンプソンのパラドックスに関するページ

二つの封筒問題に飽きたころのシンプソンのパラドックスシリーズ

シンプソンのパラドックス
シンプソンのパラドックスの錯覚現象とモンティ・ホール問題の錯覚現象の間に類似性があるか知りたくて調べてみました。

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因果関係の錯覚に関するページ

因果関係の錯覚と確率の錯覚は似ていると気がついたシリーズ

平均への回帰による錯覚
叱る方が褒めるより効果があるという錯覚が代表です。

標本の偏りによる錯覚
ダイエット法の効果に関する錯覚を放送大学の授業で取り上げていました。

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