ホストに癖があっても switch で当たる確率が 2 / 3

挑戦者が選んだ扉が当たりのときにホストが開ける扉に癖があるという条件で、場合の数を数えるだけで条件付き確率が計算できて、しかも、switch して賞品を得る確率が 2 / 3 であるようなモンティ・ホール問題がありました。
ただし、私が言うところの 「一回確率」 と呼ぶ計算方法をとった場合の話であり、私が言うところの 「集計確率」 で計算すると 2 / 3 にはなりませんが・・・

あなたはテレビのゲーム番組で扉当てゲームの挑戦者に選ばれました。
あなたが選んだ扉の中の賞品があなたのものになります。
扉が三つあって、そのうちの一つに自動車、残りの二つにヤギがいます。
最初にあなたが扉を選びます。例えば、扉１を選んだとしましょう。
そうするとホストは、扉1、扉2、扉3 のうち、あなたが選んだ扉でも、自動車の扉でもない扉を開けてヤギを見せます。
あなたが選んだ扉1 に自動車があるとき、ホストが開ける扉は決まっていますが、扉2 なのか、扉3 なのか誰にも分かりません。
今、ホストが扉3 を開けてヤギを見せたとしましょう。
ここであなたに扉を変更する権利が与えられます。
あなたは扉1 から扉2 に替えた方が有利でしょうか？

驚いたことに、次のような標本空間分割によって、場合の数を数えるだけで条件付き確率が計算できました。
しかも、ホストに癖がないときと同じ確率になります。

当たり扉	あなたが選んだ扉1 が当たりのときに、ホストが開ける扉	ホストが開けた扉	証拠事象に含まれるか
扉1	扉2	扉2	×
扉1	扉3	扉3	○
扉2	扉2	扉3	○
扉2	扉3	扉3	○
扉3	扉2	扉2	×
扉3	扉3	扉2	×

なお、これはゲームが一回ぽっきりだけ行われるという状況での確率計算、すなわち、私が言うところの 「一回確率」 と呼ぶべきものになります。
同じゲームを何回も行って集計する場合の確率計算、すなわち、私が言うところの 「集計確率」 で計算すると次のようになります。

ホストが扉3 を開ける癖がある場合、条件付き確率が 1 / 2 となります。

当たり扉	あなたが選んだ扉1 が当たりのときに、ホストが開ける扉	ホストが開けた扉	確率	証拠事象に含まれるか
扉1	扉2	扉2	0	×
扉1	扉3	扉3	1 / 3	○
扉2	扉2	扉3	0	○
扉2	扉3	扉3	1 / 3	○
扉3	扉2	扉2	0	×
扉3	扉3	扉2	1 / 3	×

ホストが扉2 を開ける癖がある場合も、 「集計確率」 で計算すると、条件付き確率が 1 / 2 となるでしょう。

ホストを何人も集めて、それぞれ何回もゲームをさせた結果を集計すると、上記の 「一回確率」 で計算した結果と一致することがあり得ることも、興味深い結果です。

補足

挑戦者が扉1 を開けたときに確率 q で扉3 を開けるホストがいた場合に、ホストが扉3 を開けたという証拠事象で扉2 が当たりである仮説事象の条件付き確率 1 / ( 1 + q ) は、 q = 1 / 2 のときに 2 / 3 となって、上記の 「一回確率」 での計算結果に一致します。
しかし 「集計確率」 を考えると一致しなくなります。

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