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マルチステージ問題

switch の機会が何回か与えられる場合には、最後の1回で switch する戦略がベスト

Rao, M. (1992). (M. Bhaskara Rao という人はたぶん大学の先生） が マルチステージ型のモンティ・ホール問題に関する考察を 発表していて、その内容を整理すると次のようになる。

Rao 先生が考えたゲームのルール

どのタイミングで Switch するかという戦略別の勝率

戦略	その戦略で 賞品を得る確率
Pick ---> Stick ---> Stick	0.250
Pick --> Switch -> Stick	0.375
Pick --> Stick --> Switch	0.750
Pick -> Switch -> Switch	0.625

注：
Pick  : 最初の扉の選択
Stick  : 扉を変えないこと
Switch  : 別の扉に変えること

上の表で特筆すべきは、 Pick Switch Switchの戦略がベストでないことである。扉が3枚のケースのアナロジーでは、switch しまくると有利に思えるが、実際は土壇場まで　switch を温存した方がよいらしい。

Wikipedia(英語版)の"Monty Hall problem"の記事によると、Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992).ではさらに扉の数を一般化して論じているらしい。

私も Pick Switch Switch の戦略の場合を計算して見ました

Pick Switch Switch の戦略の場合の標本空間は次のようになる。（左から右に向かって時系列に階層的分解）
この表を作る際、挑戦者のswitch 先の選択やホストが開ける扉の選択に偏りが無いと仮定しました。

当り扉	pick	最初の 開扉	最初の switch	2回目の 開扉	2回目の switch	この事象 の確率	勝つか	勝つ事象の 確率抜書き
1	1	2	3	4	1	1/24	勝つ	1/24
1	1	2	4	3	1	1/24	勝つ	1/24
1	1	3	2	4	1	1/24	勝つ	1/24
1	1	3	4	2	1	1/24	勝つ	1/24
1	1	4	2	3	1	1/24	勝つ	1/24
1	1	4	3	2	1	1/24	勝つ	1/24
2	1	3	2	1	4	1/32
2	1	3	2	4	1	1/32
2	1	3	4	1	2	1/16	勝つ	1/16
2	1	4	2	1	3	1/32
2	1	4	2	3	1	1/32
2	1	4	3	1	2	1/16	勝つ	1/16
3	1	2	3	1	4	1/32
3	1	2	3	4	1	1/32
3	1	2	4	1	3	1/16	勝つ	1/16
3	1	4	2	1	3	1/16	勝つ	1/16
3	1	4	3	1	2	1/32
3	1	4	3	2	1	1/32
4	1	2	3	1	4	1/16	勝つ	1/16
4	1	2	4	1	3	1/32
4	1	2	4	3	1	1/32
4	1	3	2	1	4	1/16	勝つ	1/16
4	1	3	4	1	3	1/32
4	1	3	4	3	1	1/32

この戦略で勝つ確率の合計 5/ 8 = 0.625 が Rao 先生が出した0.625 と一致してホッとしました。

ホストが若番の扉を開けるくせがある場合も計算して見ました

Pick Switch Switch の戦略の場合の標本空間は次のようになる。

当り扉	pick	最初の 開扉	最初の switch	2回目の 開扉	2回目の switch	この事象 の確率	勝つか	勝つ事象の 確率抜書き
1	1	2	3	4	1	1/8	勝つ	1/8
1	1	2	4	3	1	1/8	勝つ	1/8
2	1	3	2	1	4	1/8
2	1	3	4	1	2	1/8	勝つ	1/8
3	1	2	3	1	4	1/8
3	1	2	4	1	3	1/8	勝つ	1/8
4	1	2	3	1	4	1/8	勝つ	1/8
4	1	2	4	1	3	1/8

確率の合計は相変わらず 0.625 でした。

ゲームの進行に合わせて事前確率を計算しなおす手法でも計算して見ました

第１ステージ前半
最初のpickの後

扉	最初に 当りの確率	ホストが 開ける確率
pickした	1/4	0
残り①	1/4	1/3
残り②	1/4	1/3
残り③	1/4	1/3

第１ステージ後半
最初の開扉の後

扉	最初に 当りの確率	挑戦者が switchする確率
pickした	1/4	0
ホストが開け残した①	3/8	1/2
ホストが開け残した②	3/8	1/2

第2ステージ前半
１回目のswitch の後

扉	最初に当りの 確率	それが当りのときに 最初にpickした扉を ホストが残す 確率	それが当りのときに １回目のswitch先を ホストが残す 確率	それが当りのときに 今まで手付かずの扉を ホストが残す 確率
最初にpickした	2/8	1	1	0
1回目のswitch先	3/8	2/5	１	3/5
今まで手付かず	3/8	0	１	１

最初にpickした扉をホストが残す確率 = 2/8 + 3/8 × 2/5 = 16/40 = 2/5
今まで手付かずの扉をホストが残す確率 = 3/8 × 3/5 + 3/8 = 24/40 = 3/5

第2ステージ後半
２回目の開扉の後
(確率 2/5 で最初にpickした扉が残ったケース)

扉	それぞれが 当りである 確からしさ	それぞれが当りである 確からしさの 総和	それぞれが 当りである 確率
最初にpickした	2/8 = 10/40	2/8 + 3/8 × 2/5 = 16/40	5/8
1回目のswitch先	6/40		3/8

第2ステージ後半
２回目の開扉の後
(確率 3/5 で今まで手付かずの扉が残ったケース)

扉	それぞれが 当りである 確からしさ	それぞれが当りである 確からしさの 総和	それぞれが 当りである 確率
1回目のswitch先	9/40	9/40 + 3/8 = 14/40	9/24
今まで手付かず	15/40		15/24

第2ステージ後半
２回目の開扉の後
(上記のケースの統合)

扉	それぞれが 当りである 確率
1回目のswitch先	3/8 × 2/5 + 9/24 × 3/5 = 45/120
もう一方の扉	1 - 45/120 = 75/120 = 0.625

同じ 0.625 という結果が出ましたが疲れました。

参考文献

• Rao, M. (1992).
  Comment on Morgan et al. American Statistician, 46, 241-242.
  
• Bapeswara Rao, V. V. and Rao, M. Bhaskara (1992).
  "A three-door game show and some of its variants".
  The Mathematical Scientist 17(2): 89?94.
  

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