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2017/05/19 13:00:19
初版 2016/08/11

モンティ・ホール問題の手短な解答集

モンティ・ホール問題のおさらい

３つの扉の１つに賞品が隠されていて、挑戦者が扉を１つ選ぶと、ホストが残りの扉のうちハズレである扉の１つを開け、 挑戦者に扉を選び直す機会が与えられるゲームがある。 ホストが扉を開けた段階で、選択を変更しない場合とした場合とで、賞品を獲得する確率はそれぞれどうなるか？

（答えは 1/3 と 2/3)

モンティ・ホール問題の数学的な種類

モンティ・ホール問題を数学の問題としてとらえる主な方法に次の3種類があります。

挑戦者が選んだ扉とホストが開けた扉を条件として計算する場合

例えば、「挑戦者が扉1 を選んで、ホストが扉3 を開けた場合、扉1 と、扉2 が当たりである確率をそれぞれ求めよ。」　といった風な問題です。

ホストがどちらの扉を開けたか特定しないで計算する場合

例えば、「挑戦者が扉１を選んで、ホストが扉2か扉3 を開けた場合、扉１が当たりである確率を求めよ。」　といった風な問題です。

挑戦者が扉を変えると当たりになる確率を計算する場合

例えば、「ホストが扉を開けてから挑戦者が扉の選択を変えたときに当たりになる確率を求めよ。」　といった風な問題です。

上記の3 種類の問題は数学的にはまったく別個の問題ですが、不思議なことに答えが一致します。なぜそうなるかは 「わかるモンティ・ホール問題」 の 「なぜ答えが一致するのか」 をごらんください。

正式な数学の問題として計算する場合

例えば、
「賞品の配置、挑戦者の選択、ホストによる扉の開け方のそれぞれが均等でなくてもよいという条件 (ホストが開けてくれないケースや当たりを開けるケースも有り) の場合に、ホストが扉を開けた後に残った扉が当たりである確率のとりうる範囲を求めよ。」
といった問題です。
答えは 0 から 1 の範囲になって面白くもなんともありません。 アメリカの数学の先生がモンティ・ホール問題をパズルとして作ったことを忘れると、こんな解釈をとることになります。

それぞれの問題の手短な解答

挑戦者が選んだ扉とホストが開けた扉を条件として計算する場合

挑戦者が扉1 を選び、ホストが扉3 を開けた場合、こんな風になります。

扉1 が当たりの場合とハズレの場合に着目して
ホストが扉3 を開けたことにより扉1 がハズレの可能性のうち扉3 を開ける分が消えて扉2 を開ける分だけが残ったので、扉1 がハズレの可能性が半分になった。 
一方、扉1 が当たりの可能性も、扉3 を開ける分が消えて扉2 を開ける分だけが残ったので半分になった。 
この結果、扉1 が当たりの確率は変わらずに、もとの 1/3 のままとなり、扉2 が当たりの確率は 2/3 になる。
(↑ 2016/09/17 推敲)
扉1 が当たりの場合と扉2 が当たりの場合に着目して
ホストが扉3 を開けたことにより扉1 が当たりの可能性のうち扉3 を開ける分が消えて扉2 を開ける分だけが残ったので、扉1 が当たりの可能性が半分になった。 
一方、扉2 が当たりの可能性はそのまま残った。 
この結果、扉1 が当たりの確率と扉2 が当たりの確率の比が 1 対 2 となり、扉2 が当たりの確率は 2/3 になる。
(↑ 2016/09/17 追加)

挑戦者が扉1を選び、ホストが扉3を開けた場合の説明図
下記の人たちの解答を参考にすると、次のようにもっと簡単になります。 (2016/09/17 加筆）
扉1 が当りで扉3 が 偶然 開けられた確率は 1/3 × 1/2 = 1/6。
扉2 が当りで扉3 が 必然的に 開けられた確率は 1/3。
従って扉2 の方が 2倍当りやすい。
参考にした解答

ホストがどちらの扉を開けたか特定しないで計算する場合

挑戦者が扉1 を選び、ホストが扉2 か 扉3 を開けた場合、こんな風になります。
ホストが扉2 か扉3 を開けることが、挑戦者が扉1 を選んだ時点で既に分かっているので、ホストがどちらの扉を開けても確率に影響しない。
挑戦者が扉1を選んだ場合の説明図

挑戦者が扉を変えると当たりになる確率を計算する場合

こんな簡単な説明になります。
挑戦者が扉を変えて当たる確率は、最初に選んだ扉がハズレの確率に一致するので、2/3 となる。
挑戦者が扉1を選んだ場合の説明図
下記の人たちの解答を参考にすると、次のように簡単さを失わずにより直観的になります。 (2016/09/17 加筆）
挑戦者が扉1 を選んだ場合、こんな風になります。 (2017/05/19 加筆）
(1) ○××   扉1当り
(2) ×○×   扉2当り
(3) ××○   扉3当り
(1)では扉を交換してハズレで、(2)と(3)では扉を交換して当りだから、交換して当たる確率は 2/3
参考にした解答

図を使った解答を知りたい場合

ぜひ、モンティ・ホール問題や3囚人問題の説明方法各種 をご覧ください。

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