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2019/06/03 0:01:39

二つの封筒問題に関するWeb上のわかりやすいページと面白いページ

選んだ封筒の金額が定まったときの計算方法の説明部門

二つの封筒のうち選んだ封筒の金額が定まったときに封筒を交換したらどうなるか、わかりやすく説明しているページを集めました。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	①Yahoo!知恵袋に kemikarumanx さんが出した質問「現在までの時点で、「２封筒問題」は、解決されたのでしょうか？」に対する joushikijinz さんの回答 ②tasusu さんの「むしゃくしゃしてやった、今は反省している日記」というブログの「たのしい確率～2つの封筒問題～」という記事にも joushikijinz さんは同様のコメントを寄せていらっしゃいます。【解説】封筒を開けてから交換型の二封筒問題について、封筒を交換した方が有利か判定する一般式を求めていて、金額の分布がパラドキシカル分布か否かの判定にも応用できそうです。
2	QAサイト OKWAVE （教えて! Goo？）での、table_320 さんの質問「二つの封筒の問題」に対する alice_44 さんの回答とそれに続く ramayanaさんの回答【解説】 alice_44 さんの回答は「1000,2000 が用意されていた確率を p とすると、1000,500 が用意されていた確率は 1-p。 1000,2000 から 1000 を選ぶ確率も、1000,500 から 1000 を選ぶ確率も、1/2。」という出だしから始まって条件付き期待値を具体的に計算しています。 ramayanaさんの回答は alice_44 さんの回答に続けて、金額分布が離散的な場合の一般式を立てています。お二人の回答が具体から一般へ進んでいる様はあたかも数学の授業のようです。
3	kojette さんのブログサイト "kojetteの研磨日記" の「一連の確率問題の解説 via 「2つの封筒問題」続き」というページ【解説】二封筒問題の金額分布が離散的な場合の条件付き交換期待倍率の計算式を丁寧に解説していることに感心しましたが、反論者からの投稿に対しても非常に丁寧に解説していることにさらに驚き、感銘を受けました。
4	統計学博士の美添泰人さんのホームページ「美添泰人のホームページ [青山学院大学経済学部]」の「統計に関する教材」というページからリンクされている「確率に関するパラドックス（その１）」という表題の pdf ファイル【解説】封筒の金額分布が連続的な場合の条件付き確率の計算方法が日本語で説明されていますが、連続的な確率分布に関する日本語の資料が少ないので、貴重です。
5	TaylorさんがTwitterにpdfファイルでアップした説明文【解説】半減と倍増の確率がいつも1/2 だと確率の総和が発散すること、交換した方が有利になる条件、パラドキシカル分布の例とそれに対する考察などが、スッキリした表現と見やすい数学記号で書かれています。これだけ書かれていて、こんなに簡潔な説明書は他に見たことがありません。

二つの封筒問題で起きる錯覚に気づかせてくれる部門

「選んだ封筒の金額が定まっても交換して倍増する確率が1/2 だ」という思いや、「封筒を開けようが開けまいが封筒を交換しても意味がない」という思いが錯覚であることを分からせてくれるページを集めました。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	tazumaさんのブログ「Essay, dated.」の「2005-03-10 - Essay, dated.」というページに書かれている二封筒問題の解答【解説】おなじブログの「2005-02-02 - Essay, dated.」というページのモンティ・ホール問題の解説と同じく、すっきり明瞭分かりやすい説明が書かれています。
2	The Geekosphere　さんが　YouTube　に投稿した "Statistics: Two Envelopes Problem" というビデオ【解説】アニメーションによる解説でテンポがよいので、説明が怪しい部分も含めて、数学が得意な人なら楽しめます。
3	イギリスのBBCの「BBC - h2g2 - The Two-envelope Paradox」というページ【解説】二つの封筒問題のパラドックスが確率の錯覚であることを具体例で詳しく説明しています。解説の冒頭で X ポンドと 2X ポンドという金額のペアで二つの封筒の互角性を説明しているので、二封筒問題のおまじないの王様かと怪しみましたが違いました。
4	鬼ヅモ同好会ホームページ本部のトップページから徒然なる日記 → 過去の日記 → 2005年1・2 の順にリンクされているページ【解説】期待値計算式に出てくる事象を数学記号を使わずに言葉だけでわかりやすく表現しているので関心しました。具体的な金額を例に説明しているからわかりやすいのかも知れません。
5	QAサイト OKWAVE (教えて! Goo ?) での、table_320 さんの質問「二つの封筒の問題」に対する回答のNo.8. 回答者は ramayana　さん。【解説】確率が 1/2 とは限らないことが、封筒に1,000円入っているという具体例でわかりやすく説明されています。具体的な金額を使った説明を私も作ったことがありますが、この解説のわかりやすさにはかないません。
6	QAサイト Yahoo! 知恵袋での、tparakajai さんの質問「以前、たけしのコマ大数学科という番組で出し・・・」に対する key_labo さんによる解答【解説】「「封筒を交換するかしないか」の2択問題だというのが誘導で、本当は「(1,000円、2,000円)か(500円、1,000円)のどちらの方が「ありそう」か? それを判断せよ」という2択問題なのです。」という説明の仕方に感心しました。
7	Tooda Yuuto さんが運営する "アタリマエ！" というサイトの "あなたは何個知ってますか？頭を鍛える面白いパラドックス11選" というページの "2つの封筒問題" の章【解説】二人のプレーヤーのの気持ちの図解（吹き出し）を見て、「人物のイラストなしでも伝わるんだ！」と感心しました。同じページで「バナッハ・タルスキーのパラドックス」を知ることができて、ありがたかったです。

二つの封筒問題の初心者が悩みながら正解に近づいていく道筋部門

最初のうちは錯覚にとらわれながらも思考や実験を重ねるうちに正解に近づいて行ったページを集めました。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	Seesaa Wiki（ウィキ）というWebサービスを使った「Rainbow U」というサイトの「封筒問題シミュレーション - Rainbow U - Seesaa Wiki（ウィキ）」というページ。【解説】ゲーム関連のサイトの中に何故か二封筒問題に関する記事がありました。二封筒問題をシミュレーションする発想がめずらしい。ロジックを変えてシミュレーションをやり直しながら理解が深まっていくので、二封筒問題のよい解説になっています。冒頭の「よまんでいいよｗ」という控えめな表現も好感が持てます。
2	ハンドル名「優乃」さんという男性のブログサイト"Graviness"の「封筒のパラドクス？」という記事から「封筒のパラドクス？（4）」という記事まで【解説】漫談風の語り口が楽しく、無理やり結論を押し付けたりしていないので安心して読めました。怪しげな数式にとらわれて迷走している感もありますが、榊原という人から Franz Dietrichの2005年の論文を紹介するコメントが寄せられたりして、この記事全体のレベルは高い方だと感じました。

わかりやすいページや面白いページ

Seesaa Wiki（ウィキ）というWebサービスを使った
「Rainbow U」というサイトの
「封筒問題シミュレーション - Rainbow U - Seesaa Wiki（ウィキ）」というページ。

【解説】
ゲーム関連のサイトの中に何故か二封筒問題に関する記事がありました。
二封筒問題をシミュレーションする発想がめずらしい。
ロジックを変えてシミュレーションをやり直しながら理解が深まっていくので、二封筒問題のよい解説になっています。
冒頭の「よまんでいいよｗ」という控えめな表現も好感が持てます。

ハンドル名「優乃」さんという男性のブログサイト"Graviness"の
「封筒のパラドクス？」という記事から「封筒のパラドクス？（4）」という記事まで

【解説】
漫談風の語り口が楽しく、無理やり結論を押し付けたりしていないので安心して読めました。
怪しげな数式にとらわれて迷走している感もありますが、榊原という人から Franz Dietrichの2005年の論文を紹介するコメントが寄せられたりして、この記事全体のレベルは高い方だと感じました。

パラドキシカル分布の解説部門

パラドキシカル分布を紹介しているページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	tasusu さんの「むしゃくしゃしてやった、今は反省している日記」というブログの「たのしい確率～2つの封筒問題～」という記事【解説】パラドキシカルな金額分布の例をあげて、封筒を交換したときの利得の期待値が常に正であることの説明が実にすっきりとしています。例としてあげた金額分布の出典は不明です。

金額と効用は一致しないという部門

金額の期待値でなく効用の期待値に着目しているページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	Yahoo!知恵袋に night_alone0210さんが出した「小切手の入った二つの封筒A、Bがありあなたはどちらか一方を持ち帰ることができる...」という質問に対する dora555_999さんの回答【解説】 [１円・１００円・１万円] という可能性のある状況と、 [５億・１０億･２０億] という可能性のある状況で真ん中の金額を引いたときの行動心理を例にして、金額の期待値ではなく、効用の期待値に基づいて行動が決まることが説明されています。確率論の説明というより行動心理学の説明になっていますが、わかりやすくて面白い。

変わり種問題文部門

お金や小切手以外の奇抜な小道具の問題文を集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	Yahoo!知恵袋に pinkyblacktree さんが出した「数学、、２つの箱a,bがあり一方は他方の二倍の飴が入っています。。aをたろうが選...」という質問【解説】封筒が箱に、お金が飴に置き換わった変わり種の二封筒問題です。二つの封筒問題では数学的に間違っていたり怪しげだったりする回答がベストアンサーに選ばれるのが普通なので、 joushikijinz さんの数学的解答がベストアンサーに選ばれたのも珍しいです。

パラドキシカル分布の謎の解明のヒント部門

パラドキシカル分布の謎の解明のヒントになりそうなページを集めました
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	「情報と物質の関係から見た世界像ー情報と物質の科学哲学事始ー」というホームページの「§情報と量子力学の密接な関係」というリンクの先の「「波束の収縮/粒子と波動の矛盾」は錯覚　ー情報と物質の関係による量子力学の哲学ー」というページ【解説】波動関数の確率解釈を巡る古今の議論を引用しつつ、実在と情報を分離して概念整理することを提案しています。素粒子の物質像を封筒を開けたときの確率分布と対応させ、素粒子の波動像を封筒を開ける前の確率分布と対応させると、パラドキシカル分布を解くときのヒントになりそうです。モンティ・ホール問題や二封筒問題を論じる人が陥る客観確率幻想とも類似した問題を論じていて面白い。

わかりやすいページや面白いページ

「情報と物質の関係から見た世界像ー情報と物質の科学哲学事始ー」というホームページの
「§情報と量子力学の密接な関係」というリンクの先の
「「波束の収縮/粒子と波動の矛盾」は錯覚　ー情報と物質の関係による量子力学の哲学ー」というページ

【解説】
波動関数の確率解釈を巡る古今の議論を引用しつつ、実在と情報を分離して概念整理することを提案しています。
素粒子の物質像を封筒を開けたときの確率分布と対応させ、素粒子の波動像を封筒を開ける前の確率分布と対応させると、パラドキシカル分布を解くときのヒントになりそうです。
モンティ・ホール問題や二封筒問題を論じる人が陥る客観確率幻想とも類似した問題を論じていて面白い。

二つの封筒問題の数学のアイデア部門

二つの封筒問題の数学の新しいアイデアを述べたページを集めました。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	OKWave に noname#53348 さんが出した「期待値の問題　矛盾？」という質問に対する aquarius_hiro さんの回答【解説】「封筒を開けてから交換型」の二封筒問題について数学的に意味のある考え方かどうかはわかりませんが、おもしろい考え方を提案しています。確率分布が変化して極限の分布に収束する場合に、条件付き確率の極限値を、極限条件付き確率と見なす考え方です。このような考え方なら、交換して倍になる確率と半減する確率が等しくなるような状況を部分的に持つ確率分布の極限を考えると、ゼロから無限大の全域で極限期待交換倍率を 1.25 にすることができそうです。
2	OKWave に table_320 さんが出した「二つの封筒の問題」という質問に対して、stomachman さんが ANo.24 として書いた回答【解説】確率分布が未知であっても、封筒の金額が特定されてから交換して倍になったり半減したりする確率を決めることができるかも知れないと書かれています。確率分布の確率分布に何等かの対称性を仮定することによって、stomachman さんのアイデアが実現するかも知れません。

わかりやすいページや面白いページ

OKWave に noname#53348 さんが出した
「期待値の問題　矛盾？」
という質問に対する aquarius_hiro さんの回答

【解説】
「封筒を開けてから交換型」の二封筒問題について数学的に意味のある考え方かどうかはわかりませんが、おもしろい考え方を提案しています。
確率分布が変化して極限の分布に収束する場合に、条件付き確率の極限値を、極限条件付き確率と見なす考え方です。
このような考え方なら、交換して倍になる確率と半減する確率が等しくなるような状況を部分的に持つ確率分布の極限を考えると、ゼロから無限大の全域で極限期待交換倍率を 1.25 にすることができそうです。

OKWave に table_320 さんが出した
「二つの封筒の問題」
という質問に対して、stomachman さんが ANo.24 として書いた回答

【解説】
確率分布が未知であっても、封筒の金額が特定されてから交換して倍になったり半減したりする確率を決めることができるかも知れないと書かれています。
確率分布の確率分布に何等かの対称性を仮定することによって、stomachman さんのアイデアが実現するかも知れません。

人によって二つの封筒問題のパラドックスが様々だという発見部門

二つの封筒問題の何がパラドックスかという点で色々な意見の人がいることがわかるページを集めました。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	あるQAサイトに出された質問に対して、ある人たち（AさんとBさん）が出した回答と、それに反論する人たちの回答【解説】金額を特定すれば確率が 1/2 と限らないことを、AさんやBさんが具体的な金額分布を使って説明しても理解できない人が多いことがわかります。選んだ封筒の金額に着目した議論と、二つの封筒の中身の金額ペアに着目した議論を混同している人もいます。 AさんやBさんの説明を理解でき、二封筒問題の数学に詳しいけれど、何がパラドックスかで意見を異にする人も多いことがわかります。
2	テンメイさんのブログ「テンメイのＲＵＮ＆ＢＩＫＥ」の「確率の面白い謎（パラドクス）、「２つの封筒問題」にハマりかけて♪」というページ【解説】・『マイナビ』の連載記事「もしも科学シリーズ」の「もしもパラドックスに悩まされたら」（執筆は関口寿／ガリレオワークス）で二封筒問題を知ったこと・色々考えたこと・英語版ウィキから、問題自体が色んな点でバラついてる事や、異なる様々な考えが共存・乱立している状況を知ったことなどが書かれています。最後に「私としては、とりあえず今ハマるのは回避しよう♪　」と書いていらっしゃる。

わかりやすいページや面白いページ

あるQAサイトに出された質問に対して、ある人たち（AさんとBさん）が出した回答と、それに反論する人たちの回答

【解説】
金額を特定すれば確率が 1/2 と限らないことを、AさんやBさんが具体的な金額分布を使って説明しても理解できない人が多いことがわかります。
選んだ封筒の金額に着目した議論と、二つの封筒の中身の金額ペアに着目した議論を混同している人もいます。
AさんやBさんの説明を理解でき、二封筒問題の数学に詳しいけれど、何がパラドックスかで意見を異にする人も多いことがわかります。

テンメイさんのブログ「テンメイのＲＵＮ＆ＢＩＫＥ」の
「確率の面白い謎（パラドクス）、「２つの封筒問題」にハマりかけて♪」というページ

【解説】
・『マイナビ』の連載記事「もしも科学シリーズ」の「もしもパラドックスに悩まされたら」（執筆は関口寿／ガリレオワークス）で二封筒問題を知ったこと
・色々考えたこと
・英語版ウィキから、問題自体が色んな点でバラついてる事や、異なる様々な考えが共存・乱立している状況を知ったこと
などが書かれています。
最後に「私としては、とりあえず今ハマるのは回避しよう♪　」と書いていらっしゃる。

おまじないに対するカウンターパンチ部門

二つの封筒問題の「おまじない」（錯覚にとらわれたまま唱えられるさまざまな説明）が間違っていることを直感的にわからせてくれるページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	Yahoo!知恵袋に night_alone0210 さんが出した「小切手の入った二つの封筒A、Bがありあなたはどちらか一方を持ち帰ることができる...」という質問に対する akindofgirl さんの回答【解説】「封筒を開けてから交換型」の二封筒問題について、こんな説明を発案なさっています。「高額封筒が低額封筒の一万倍で、開けた封筒に一万円入っていたらどうします？　交換するでしょ！」（原文の口調から林先生風の口調に変えてご紹介しました）これなら「開ける前に同等だから開けても同等」という錯覚やおまじないを打ち砕けそうです。ただしその人が今すぐ一万円欲しい状況でなかったとしたらの話ですが · · ·

わかりやすいページや面白いページ

Yahoo!知恵袋に night_alone0210 さんが出した
「小切手の入った二つの封筒A、Bがありあなたはどちらか一方を持ち帰ることができる...」
という質問に対する akindofgirl さんの回答

【解説】
「封筒を開けてから交換型」の二封筒問題について、こんな説明を発案なさっています。
「高額封筒が低額封筒の一万倍で、開けた封筒に一万円入っていたらどうします？　交換するでしょ！」
（原文の口調から林先生風の口調に変えてご紹介しました）
これなら「開ける前に同等だから開けても同等」という錯覚やおまじないを打ち砕けそうです。
ただしその人が今すぐ一万円欲しい状況でなかったとしたらの話ですが · · ·

Cover博士の原理に関連する部門

二つの確率変数のうち一つを知ったときに、それと別の変数あるいは定数との大小関係からもともとの二つの確率変数の大小関係を推定する問題に関連したページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	tazumaさんのブログ「Essay, dated.」の「　2つの封筒のパラドックスの変形問題その２ - Essay, dated.」というページ【解説】 Cover博士が提起した問題がすっきりした数式で説明されていて、さらにその応用として、「他の封筒が大きいあるいは小さい金額を含む確率が常に半々だということはありえない」ことも書かれています。

improper な事前確率分布に関する部門

確率の総和や確率密度関数の積分値が発散する improper な事前確率分布に関連するページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	統計学博士の美添泰人さんのホームページ「美添泰人のホームページ [青山学院大学経済学部]」の「統計に関する教材」というページからリンクされている「確率に関するパラドックス（その１）」という表題の pdf ファイル【解説】選んだ封筒の金額によらず、封筒を交換したときに倍増や半減する条件付き確率が 1/2 になるのは improper 事前確率分布 (確率の総和が発散する事前確率分布）の場合だけだということが導かれています。封筒の金額分布が連続的な場合の条件付き確率の計算方法を日本語で説明している資料が少ないので、その意味でも貴重です。

食欲をそそる部門

読むと食べたり飲んだりしたくなるページを集めました。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	tazumaさんのブログ「Essay, dated.」の「2005-07-29 - Essay, dated.」というページ【解説】二つの封筒問題の金額に関連がないという変形問題を読者と議論する中で、読者のおひと方が芝麻醤を使った餃子を話題に取り上げて、 tazuma さんも関心を示していらっしゃる。私も「芝麻醤」をキーワードでネット検索してみたら、四川料理の水餃子 (タレに特徴) のページが出てきました。
2	大阪府立大学の萱沼先生のWebページ「確率って難しい-その２」【解説】モンティホール・ディレンマの話題の後に次のように書いていらっしゃる。これは「二つの封筒のディレンマ」というやつに似ている。 < < < 中略 > > > うーん、またビールを飲んで考えねば。
3	researchmap というサイトの東洋大学の関先生のブログページ「2つの封筒問題 - researchmap」【解説】フランスのストラスブールでクレープを食べていらっしゃる写真を添付なさっている。

神様視点のパラドックス部門

選んだ側の立場と他方の側の立場の両方で、封筒を交換した方が有利であることを不思議に感ずるパラドックスについて論じているページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	shinzorさんのブログ「shinzorの日記」の「二つの封筒の問題ー確率と現実 - shinzorの日記」というページ【解説】選んだ側の立場と他方の側の立場の両方で、封筒を交換した方が有利であることを不思議に感ずるパラドックスについて、事後確率の証拠事象が異なるのだから矛盾はないという論法で説明していらっしゃる。このパラドックスに対して真っ当な説明をしているページとして貴重です。

現実感覚や冗談部門

パズルの中に現実感を持ち込むことで起こるズレを楽しむページを集めました。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	deviantART というサイトの StrixVanAllen さんによる "Two envelopes problem by StrixVanAllen on deviantART" というページの二コマ漫画【解説】最後の "Who is the looser?" という台詞が楽しい。
2	The New York Times Company の "The New York Times" というサイトの "Numberplay: Your Money or Your Logic - NYTimes.com" というページ【解説】 Mehran Sahami 先生は次のように授業するらしい。・開けてから交換型の問題を使う・実際に封筒にお金を入れて学生をプレイヤーとして実演する・学生は実際にお金を得る（先生はお金を失う）記事の中の授業では開けた封筒に 20ドル入っていた。生徒たちの答えや、記者の知り合いたちの答えは、賭け事の快感に触れたり、先生の懐具合に触れたりと、さまざまな現実感覚が乱れ飛んでいる。「もともとゼロだから 10ドルに減っても勝ち」という回答も含まれている。 Mehran Sahami 先生は「200人の生徒に考えさせることは 20ドル失う価値がある」と言っているので、もう一つの封筒には 10ドルしか入っていなかったらしい。

わかりやすいページや面白いページ

deviantART というサイトの
StrixVanAllen さんによる
"Two envelopes problem by StrixVanAllen on deviantART" というページの
二コマ漫画

【解説】
最後の "Who is the looser?" という台詞が楽しい。

The New York Times Company の "The New York Times" というサイトの
"Numberplay: Your Money or Your Logic - NYTimes.com" というページ

【解説】
Mehran Sahami 先生は次のように授業するらしい。
・開けてから交換型の問題を使う
・実際に封筒にお金を入れて学生をプレイヤーとして実演する
・学生は実際にお金を得る（先生はお金を失う）
記事の中の授業では開けた封筒に 20ドル入っていた。
生徒たちの答えや、記者の知り合いたちの答えは、賭け事の快感に触れたり、先生の懐具合に触れたりと、さまざまな現実感覚が乱れ飛んでいる。
「もともとゼロだから 10ドルに減っても勝ち」という回答も含まれている。
Mehran Sahami 先生は「200人の生徒に考えさせることは 20ドル失う価値がある」と言っているので、もう一つの封筒には 10ドルしか入っていなかったらしい。

意外な発見部門

意外な発見に感心するページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・

No	わかりやすいページや面白いページ
1	QAサイト OKWAVE (教えて! goo ?) での、table_320 さんの質問「二つの封筒の問題」に対する回答のNo.2. 回答者は alice_44　さん。【解説】封筒に入れる金額のペアが (500, 1000) と (1000, 2000) の二通りだとすると、それぞれの金額ペアの確率によらず、選んだ封筒の金額が 1000 である確率が 1/2 であることが示されています。意外なところで確率 1/2 がしぶとく生き残っていたなァと関心しました。

用語解説

客観確率幻想
私の造語です。
標本空間を分割してできる事象ではなく、何かの実体や現象が確率を担うという幻想を表しています。
モンティ・ホール問題の場合で言えば、「扉1が当たり」という「事象」でなく、「扉1そのもの」という実体に確率が割り付けられているという幻想がそれにあたります。
パラドキシカル分布
選んだ封筒の金額を条件とする条件付き期待交換利得が常にゼロより大であるような金額分布を言います。
このような場合、封筒を開ける前の二つの封筒が互角であることと矛盾しないのか？　と不思議になります。
二封筒問題のおまじないの王様
二つの封筒問題から人々が感じるパラドックスは多岐にわたっていますが、それぞれのパラドックスを解消するために唱える非数学的な説明を「おまじない」と私は呼んでいます。
選んだ封筒の金額が決まった後でも封筒を交換して倍になる確率と半減する確率がともに 1/2 だと信じている人が陥るパラドックスを解消する「おまじない」にも色々ありますが、その中で、選んだ封筒の金額を条件として考えるのは誤りだ唱える「おまじない」をよく見かけるので、私はそれを「二封筒問題のおまじないの王様」と呼んでいます。

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No	わかりやすいページや面白いページ
1	①Yahoo!知恵袋に kemikarumanx さんが出した質問「現在までの時点で、「２封筒問題」は、解決されたのでしょうか？」に対する joushikijinz さんの回答 ②tasusu さんの「むしゃくしゃしてやった、今は反省している日記」というブログの「たのしい確率～2つの封筒問題～」という記事にも joushikijinz さんは同様のコメントを寄せていらっしゃいます。【解説】封筒を開けてから交換型の二封筒問題について、封筒を交換した方が有利か判定する一般式を求めていて、金額の分布がパラドキシカル分布か否かの判定にも応用できそうです。
2	QAサイト OKWAVE （教えて! Goo？）での、table_320 さんの質問「二つの封筒の問題」に対する alice_44 さんの回答とそれに続く ramayanaさんの回答【解説】 alice_44 さんの回答は「1000,2000 が用意されていた確率を p とすると、1000,500 が用意されていた確率は 1-p。 1000,2000 から 1000 を選ぶ確率も、1000,500 から 1000 を選ぶ確率も、1/2。」という出だしから始まって条件付き期待値を具体的に計算しています。 ramayanaさんの回答は alice_44 さんの回答に続けて、金額分布が離散的な場合の一般式を立てています。お二人の回答が具体から一般へ進んでいる様はあたかも数学の授業のようです。
3	kojette さんのブログサイト "kojetteの研磨日記" の「一連の確率問題の解説 via 「2つの封筒問題」続き」というページ【解説】二封筒問題の金額分布が離散的な場合の条件付き交換期待倍率の計算式を丁寧に解説していることに感心しましたが、反論者からの投稿に対しても非常に丁寧に解説していることにさらに驚き、感銘を受けました。
4	統計学博士の美添泰人さんのホームページ「美添泰人のホームページ [青山学院大学経済学部]」の「統計に関する教材」というページからリンクされている「確率に関するパラドックス（その１）」という表題の pdf ファイル【解説】封筒の金額分布が連続的な場合の条件付き確率の計算方法が日本語で説明されていますが、連続的な確率分布に関する日本語の資料が少ないので、貴重です。
5	TaylorさんがTwitterにpdfファイルでアップした説明文【解説】半減と倍増の確率がいつも1/2 だと確率の総和が発散すること、交換した方が有利になる条件、パラドキシカル分布の例とそれに対する考察などが、スッキリした表現と見やすい数学記号で書かれています。これだけ書かれていて、こんなに簡潔な説明書は他に見たことがありません。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	tazumaさんのブログ「Essay, dated.」の「2005-03-10 - Essay, dated.」というページに書かれている二封筒問題の解答【解説】おなじブログの「2005-02-02 - Essay, dated.」というページのモンティ・ホール問題の解説と同じく、すっきり明瞭分かりやすい説明が書かれています。
2	The Geekosphere　さんが　YouTube　に投稿した "Statistics: Two Envelopes Problem" というビデオ【解説】アニメーションによる解説でテンポがよいので、説明が怪しい部分も含めて、数学が得意な人なら楽しめます。
3	イギリスのBBCの「BBC - h2g2 - The Two-envelope Paradox」というページ【解説】二つの封筒問題のパラドックスが確率の錯覚であることを具体例で詳しく説明しています。解説の冒頭で X ポンドと 2X ポンドという金額のペアで二つの封筒の互角性を説明しているので、二封筒問題のおまじないの王様かと怪しみましたが違いました。
4	鬼ヅモ同好会ホームページ本部のトップページから徒然なる日記 → 過去の日記 → 2005年1・2 の順にリンクされているページ【解説】期待値計算式に出てくる事象を数学記号を使わずに言葉だけでわかりやすく表現しているので関心しました。具体的な金額を例に説明しているからわかりやすいのかも知れません。
5	QAサイト OKWAVE (教えて! Goo ?) での、table_320 さんの質問「二つの封筒の問題」に対する回答のNo.8. 回答者は ramayana　さん。【解説】確率が 1/2 とは限らないことが、封筒に1,000円入っているという具体例でわかりやすく説明されています。具体的な金額を使った説明を私も作ったことがありますが、この解説のわかりやすさにはかないません。
6	QAサイト Yahoo! 知恵袋での、tparakajai さんの質問「以前、たけしのコマ大数学科という番組で出し・・・」に対する key_labo さんによる解答【解説】「「封筒を交換するかしないか」の2択問題だというのが誘導で、本当は「(1,000円、2,000円)か(500円、1,000円)のどちらの方が「ありそう」か? それを判断せよ」という2択問題なのです。」という説明の仕方に感心しました。
7	Tooda Yuuto さんが運営する "アタリマエ！" というサイトの "あなたは何個知ってますか？頭を鍛える面白いパラドックス11選" というページの "2つの封筒問題" の章【解説】二人のプレーヤーのの気持ちの図解（吹き出し）を見て、「人物のイラストなしでも伝わるんだ！」と感心しました。同じページで「バナッハ・タルスキーのパラドックス」を知ることができて、ありがたかったです。

No	わかりやすいページや面白いページ
1	tazumaさんのブログ「Essay, dated.」の「2005-07-29 - Essay, dated.」というページ【解説】二つの封筒問題の金額に関連がないという変形問題を読者と議論する中で、読者のおひと方が芝麻醤を使った餃子を話題に取り上げて、 tazuma さんも関心を示していらっしゃる。私も「芝麻醤」をキーワードでネット検索してみたら、四川料理の水餃子 (タレに特徴) のページが出てきました。
2	大阪府立大学の萱沼先生のWebページ「確率って難しい-その２」【解説】モンティホール・ディレンマの話題の後に次のように書いていらっしゃる。これは「二つの封筒のディレンマ」というやつに似ている。 < < < 中略 > > > うーん、またビールを飲んで考えねば。
3	researchmap というサイトの東洋大学の関先生のブログページ「2つの封筒問題 - researchmap」【解説】フランスのストラスブールでクレープを食べていらっしゃる写真を添付なさっている。