大文字小文字で仮説事象と証拠事象を区別する書き方は楽だ

扉A が当たりの事象を A 、ホストが扉A を開ける事象を a のように大文字小文字で仮説事象と証拠事象を区別して書くと、条件付き確率の計算式が格段に読みやすくなる。

Steve Selvin の計算式で確かめて見た

世界初のモンティ・ホール問題を作った本人による計算式が Selvin, Steve (1975b). に書かれている。

A = 自動車のキーが箱B にある事象
B = 挑戦者が箱B を選んだ事象
C = ホストが箱A を開けた事象
P(A|BC) = P(ABC) / P(BC)
        = P(C|AB)P(AB) / P(C|B)P(B)
        = P(C|AB)P(B|A)P(A) / P(C|B)P(B)
        = (1/2)(1/3)(1/3) / (1/2)(1/3)
        = 1/3

この計算式に対して、仮説事象を大文字、証拠事象を小文字で書く方式を応用したら、次のようになった。
※ 大文字、小文字だけでは足りないのでギリシャ文字も動員

B = 自動車のキーが箱B にある事象
β = 挑戦者が箱B を選んだ事象
a = ホストが箱A を開けた事象
P(B|βa) = P(Bβa) / P(βa)
         = P(a|Bβ)P(Bβ) / P(a|β)P(β)
         = P(a|Bβ)P(β|B)P(B) / P(a|β)P(β)
         = (1/2)(1/3)(1/3) / (1/2)(1/3)
         = 1/3

このように、 Selvin, Steve (1975b). のオリジナルの計算式より分かりやすくなった。

このやり方をとっている人たち

次のような論文やブログで見ることができる。

Shimojo, S., & Ichikawa, S. (1989). Intuitive reasoning about probability: Theoretical and experimental analysis of the “problem of three prisoners”. Cognition, 32, 1-24.
Falk, R.(1992). A closer look at the probabilities of the notorious three prisoners, Cognition, 43, 197-223.
北九州市立大学(2013/06/01現在）の齋藤朗宏先生のサイト "Akihiro SAITO's Laboratory" の
"モンティ・ホール問題 | Akihiro SAITO's Laboratory" というページ

この方法の変形に、仮説事象の記号に "!" を添えて証拠事象を表記する方法もある

「八起数学塾」というサイトの「※状況を勘違いしてしまった場合その２モンティ・ホール問題」というページで使われている。
以下はその抜粋。

「箱 A,B,C に当たり券が入っている」をそれぞれ a,b,c で、「司会者が B,C の箱を開ける」をそれぞれ b!,c! で、さらに and 条件は記号を並べて、例えば「箱 A に当たり券が入っていて司会者が B の箱を開ける」を ab! で表すことにします。

似たような方法に、確率を表す記号 P　の添え字の位置で仮説事象と証拠事象を区別する方法もある

挑戦者が扉1 を選んだ場合に限定すると、例えば次のような書き方ができる。　

P_1,2 = 扉1 が当たりでホストが扉2 を開ける確率

この方法だと、P( A∩b ) のように括弧を書かなくて済むのでさらに楽である。

参考資料

Selvin, Steve (1975b).
"On the Monty Hall problem" (letter to the editor). American Statistician 29(3): 134 (August 1975).