大人なら気をつけたいモンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題の解説の仕方によっては、エンドレスの論争を呼ぶことがあります。
QAサイトやブログでそのような議論が行われるのを見ることがときどきあります。
これらの論争は哲学論争あるいは神学論争の類なので、議論が始まったら終わるはずもありません。
中には異次元世界の住民同士の議論でまったく話が通じていないケースもあります。

うっかり論議を始めるとエンドレスの論争になることもあるテーマ

実際に激しく議論している事例のあったテーマ

非条件付確率の問題設定での解答は、ベイズ理論で解いていないので誤りだ。

非条件付確率の問題設定と条件付確率の問題設定のどちらを優先するかで意見が分かれるのでしょう。

ホストがハズレ扉の開け方るときのルールが明記されているかどうか、で答えが変わる。

標準仮定を仮定することを、モンティ・ホール問題を解くときの「作法」として受け入れる人とそうしたくない人の間で意見が分かれるのでしょう。
抽象的な数学の確率論で確率を考える人と、人間の頭の中の現象として確率を考える人でも、意見が分かれるでしょう。

挑戦者が当たりを選んだときにホストが残りのそれぞれの扉を開ける確率を考慮しなければならない。

非条件付確率の問題設定と条件付確率の問題設定のどちらを優先するかで意見が分かれるのでしょう。

その他の議論になりそうなテーマ

ハズレ扉を開けるときのルールをホストが挑戦者に言っているかどうか、で答えが変わる。

抽象的な数学の確率論で確率を考える人と、人間の頭の中の現象として確率を考える人で、意見が分かれるでしょう。

異次元世界の住民同士の論争

2013/09/28 にこの項を追加しました。

数学の確率論で議論する人と、日常の確率論で議論する人同士の論争の場合、互いに相手の言葉が理解できないために、エンドレスの論争になることがあります。

実際に激しく議論している事例のあったテーマ

ホストがハズレ扉を開けるとき、どちらを開けるかのルールが明確になっていない場合、残った扉が当たりである確率は互角か

数学の確率論で考える人は挑戦者が選ばなかった方の扉が当たりである確率は 1～1/2 だからこちらを選ぶにしくはないと考えました。
一方、その人なりの日常の確率論で考える人は、不確かなのだから残った二つの扉は互角だと考えました。
不確かさの意味を数学の確率論で考える人がいくら数学で説明しても、不確かさの意味を日常の確率論で考える人には理解できませんでした。

この二人は異次元世界の住民なので言葉が通じなかったのだろうと、私は思っています。

用語解説

標準仮定
モンティ・ホール問題や3囚人問題を数学的に解くためには問題文に明示的に書かれていない条件を仮定する必要がある。
標準仮定はそうした仮定の一つであり、モンティ・ホール問題の場合、次のような内容となっている。
①当たり扉はランダムかつ等確率に設定される
②ホストは挑戦者の選んだ扉を開けない
③ホストは必ず残りの扉を一枚開ける
④ホストはハズレの扉しか開けない
⑤ホストは挑戦者の選んだ扉が当たりのとき、ハズレ扉をランダムかつ等確率に選んで開ける
⑥ホストは扉を開けた後に必ずswitchの機会を挑戦者に与える
1975年にモンティ・ホール問題を発案した Steve Selvin も、
199０～1991年に PARADE誌のコラム"Ask Marilyn"で論争した人々の多くも、
標準仮定のもとに議論していた。
「標準仮定」(the standard assumptions)とは Wikipedia(英語版)の "Monty Hall problem"の記事で導入された言葉である。
3囚人問題の標準仮定は、「⑥ホストは扉を開けた後に必ずswitchの機会を挑戦者に与える」を除いたものになる。
条件付確率の問題設定
ホストが「これこれ」のハズレ扉を開けたということを証拠事象として、
「それぞれ」の扉が当たりである条件付き確率を計算する問題設定である。
非条件付確率の問題設定
ホストが「いずれか」のハズレ扉を開けることは最初から分っていることとして
（相場用語なら「織り込み済み」だとして）
「挑戦者が選んだ」扉、あるいは「残りの」扉が当たりである確率を計算する問題設定である。

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