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2018/05/29 8:03:15
初版 2018/05/17

英語版Wikipedia の数学的標準説

(2018/05/23 標題変更)

英語版の Wikipedia の 'Two envelopes problem' の記事の 2014年頃の数学的標準説の説明がやけに複雑なので調べてみました。

複雑になるまでの変遷

英語版 Wikipedia の記事は二つ在った

"Two envelopes problem" という記事より古い "Envelope paradox" という記事があって、初版は 10:55, 26 August 2004 です。
（"Two envelopes problem" の初版は 22:36, 25 August 2005）

それ以降は、二つの記事が独自に編集される時期がしばらくありました。

しかし、匿名の編集者により "Envelope paradox" の 07:47, 24 August 2006 の版から "Two envelopes problem"に最終的にリダイレクトされ、それ以降 "Envelope paradox" の記事は更新されなくなりました。

次の手順で "Envelope paradox" の内容を見ることができます。
英語版の Wikipedia を開く。
検索キーワード入力欄に "Envelope paradox" と書いて検索する。
"Two envelopes problem" の記事にリダイレクトされるので、最上部の " (Redirected from Envelope paradox)" というリンクをクリックする。

"Envelope paradox" の Talk ページの履歴は "Two envelopes problem" の Talk ページの履歴の Archive 1 に転記されているようです。

"Envelope paradox" の記事での変遷

"Envelope paradox" の初版である 10:55, 26 August 2004 の版の数学的標準説の解説の要約
ステップ２は (½A, A) と (A, 2A) の二つのペアがAのすべての値について等確率だと仮定しているが、間違いである。そのような性質の確率分布は存在しない。

"Envelope paradox" の最後の版である 13:49, 14 July 2006 の版の数学的標準説の解説の要約
ステップ２は (½A, A) と (A, 2A) の二つのペアがAのすべての値について等確率だと仮定しているが、間違いである。特に正実数上の一様分布が存在しないからである。
私の注：この説明は数学的に間違いのような気がします。
連続確率分布だとしたら一様分布よりも、Aの逆数に比例する確率密度の方が適当だと思います。

"Two envelopes problem" の記事での変遷

"Two envelopes problem" の記事で複雑な解説をするようになるまでは、数学的標準説の解説は一言で要約できるほど簡素なものでした。

"Two nvelopes problem" の 22:05, 3 October 2005 の版の数学的標準説の解説の要約
我々が新しい情報を得ると主観確率 (subjective probability) が変化し、選んだ封筒 A の金額が小額側や高額側である確率の評価も変化する。

"Two nvelopes problem" の 20:17, 26 May 2010 の版の数学的標準説の解説の要約
同様のロジックを異なる倍率に応用すると、我々がすべての正の金額が等確率だと暗黙に仮定していたことがわかる。
しかしそれは金額の無限集合の上の一様分布を意味するので正しい事前確率にはならない。

"Two nvelopes problem" の 23:46, 3 May 2011 の版の数学的標準説の解説の要約
具体的には、選んだ封筒の金額によらずに他の封筒の金額が選んだ封筒の金額の倍や半分に等確率でなりうる、というようなことはあり得ない。

"Two nvelopes problem" の 01:31, 8 November 2011 の版の数学的標準説の解説の要約
選んだ封筒の金額 A=a が何であっても二番目の封筒に等確率で a/2 や 2a が入っている、というようなことは不可能である。

"Two nvelopes problem" の 18:44, 8 February 2012 の版の数学的標準説の解説の要約
選んだ封筒の金額 A=a が何でありうるとしても二番目の封筒の金額である a/2 や 2a に関する事前の信念に従いながら等確率で それらが入っている、というようなことは不可能である。
私の注：
上記の「事前の信念」という言葉は「事前確率分布を想定すること」を意味しているような気がします。 (← 2018/05/29 修正)
この版辺りから数学的標準説なのか、事前確率分布想定説なのか、判然としなくなってきます。 (← 2018/05/23 修正)

複雑になった 09:49, 17 November 2014 の版の内容

訳語の説明

原語 訳語 説明
resolution 解決 パラドックスの解決
logical resolution

  		論理的解決 この記事の章の一つで、哲学者による解決を説明している。
mathematical resolution

  		数学的解決 この記事の章の一つで、数学者による解決を説明している。
argument

  		交換議論 変数記号の定義から期待値計算式に至るまでの全７ステップのプロセス
reasoning 推論 「交換議論」のこと
writer 交換議論執筆者 交換議論を書いた人

09:49, 17 November 2014 の版の編集者は何がパラドックスの解決だと思っているのか

"Two envelopes problem" の記事の 09:49, 17 November 2014 の版の編集者たちは 「交換議論執筆者なる人物を想像して、その人物がどのような間違いをしたかを考えること」 が二つの封筒問題の解決だと思っているように思えます。
言い換えると二つの封筒問題のパラドックスを作りだした歴史上の誰かが感じたパラドックスを解明することが目的であって、問題文を読んだ人が感じたパラドックスを解明することには頓着していないように思えます。 (← 2018/05/29 修正)

09:49, 17 November 2014 の版の数学的標準説に関連する章の要約

「数学的解決」の章の要約
論理的解決では、「交換議論執筆者が特定の金額ペア (x, 2x) を考えながら期待値を計算しようとした」と仮定している。
私の注：このように前の章を振り返る記述が多いため読みづらくなっているように思います。

しかし、多くの数学者や統計学者は「交換議論の執筆者が封筒Aの実際の金額または仮定の金額を所与として封筒Bの金額の期待値を計算しようとしている」と解釈する。
金額が幾らであっても交換すべきだという結果になるなら、中を見ないでも交換すべきとなる。
この解釈は、このパラドックスが現時点の形態で紹介された初期の出版物に見ることができる。
私の注：初期の出版物は開けてから交換型であり、この文章で言う「現時点の形態」は開ける前に交換型なので、この文章は不適切です。
<<< 以降、同じような意味の文が並びます。 >>>

「簡単な数学的解決」の章の要約
論理的解決は、交換議論執筆者が封筒Bの非条件付期待値を計算しようとしていると解釈した。
私の注：このように前の章を振り返る記述がかえって分かりにくくしていると思います。

数学的文献では何が封筒Aの中にあるかを条件とする条件付期待値など、他の解釈が一般的である。
二つの封筒問題のこの解釈や関連する解釈、あるいは変形問題を解くとき、多くの著者は確率のベイジアン的解釈を使用する。
私の注：この文は不必要に複雑だと思います。「条件付期待値」で解く場合、確率のベイジアン的解釈を伴うことが多い」の方がわかりやすいと思います。

確率のベイジアン的解釈というのは、どちらの封筒を選ぶかという真にランダムな事象だけでなく、二つの封筒の中の二つの金額が何と何かという、決定はされているが未知の事物に関する知識（あるいは知識の欠如）にも確率の考えを適用することである。
私の注1： (← 2018/05/17, 修正)
これ以降に続く記述内容から、上記の「ベイジアン的解釈」とは次の特徴を合わせ持った考え方のように思えます。
  • 事後確率を厭わない。
  • 特定の事前確率分布を想定しながら議論する。
しかし次の理由から「ベイジアン的解釈」を持ち出して数学的標準説を説明するのは不適切だと思います。
  • 私は事後確率を厭いませんがベイジアンではありません。
    数学的標準説の有名な文献を書いた Chalmers (Chalmers, D.J. 1994. ) はそもそも数学者でありません。(数学オリンピック銅メダリストですが)
  • ベイズ統計数学者であっても二つの封筒問題を考えるときに特定の事前分布を例に上げるとは限りません。
私の注2：
"Two envelopes problem" のこれ以降の版で数学的標準説を説明する章のタイトルに "Bayesian" という単語が使われるようになりました。 現在(2018/05/16) も続いていますが、上記の理由で不適切なタイトルだと思います。

さらに、ラプラスに遡る長い伝統と、彼の不十分理由の原理に沿うと、ある量が取り得る値について完全に無知である場合には等しい確率を割り当てるとされる (be supposed to)。
ステップ６と７を書いた交換議論執筆者は、封筒A の金額 a に対して等しい確率で他の封筒がその倍またはその半額を含んでいると信じているようである。
私の注1：
数学的標準説の有名な文献で「不十分理由」に着目しているものを読んだ記憶がありません。
有名文献の例：  Chalmers, D.J. 1994. 、  Devlin, K. (2004). 、  Storkey, Amos. (2000-2005)
注の注 :
Christensen, R; Utts, J (1992), の中に "noninformative rule" という言葉が出て来ます。"noninformative(maximum entropy) " とか "a noninformative rule tells you to trade" などの表現もあるので "noninformative rule" は 「無情報ルール」 という意味で使われているのかも知れません。 (← 2018/05/25 追加)
私の注2：
ラプラスや不十分理由の説明は同じ Wikipedia の "Principle of indifference" の記事に任せた方が読みやすくなると思います。

(a/2, a) のペアと (a, 2a) のペアが等確率なら 小額側金額が an である確率が整数 n の値によらず等確率になる。

<<< 続いて、小額側金額 a が 1, 2, 4, … 512 の 全部で 10個の 2のべき乗のどれかであるような例を取り上げています。　>>>
私の注： 1 とは 20 のことで、512 とは 29 のことです。 そのことを伏せているのは、数学が得意でない人にもわかるようにするためかも知れません。

封筒Aの金額によらず交換議論が正しくあるためには、これらの金額すべてが等しい確率で小額側の金額であり得るとあらかじめ信じていることになる。
私の注：「あらかじめ信じている」という言葉は、数学的標準説を唱える人はベイジアンだという思いに基づくものだと思います。 (← 2018/05/29 修正)
しかし数学的標準説の有名文献で、「等確率の事前信念」や「等確率の仮定」がパラドックスの原因だという説はあまり見たことがありません。特に Devlin, K. (2004). や Storkey, Amos. (2000-2005) では確率の錯覚に原因を求めています。

a が 1 (小額側金額が 1 のときの小額側) だったり 1024 (小額側金額が 512 のときの高額側) だったりすると等確率の事前信念にフィットしない。
私の注：普通は上限のケースは流通する貨幣の総量を元にして議論しますが、ここでは 2 のべき乗の上限下限を使っています。 べき指数を無限に大きくして improper 分布の説明につなげたいからだと思います。

a = 1024 (小額側が 512 で高額側を選んだケース） で封筒を交換すると大損して、他のケースでの儲けをふいにするから、全体として損得なしになる。

a の下限や上限で確率が等確率でないことを避けるために、小さい方は a = 1 よりさらに小さく、大きい方は a =1024 よりさらに大きく無限に続けると、a < 1 や a > 1024 の確率が無限大になって、いわゆる improper な確率分布になる。
improper な確率分布では期待値を定義できない。
私の注：improper でも条件付期待値は定義できると思います。そもそも条件付き確率が定義できないなら improper な事前分布の有効性がなくなってベイズ統計学の一部分が消えてしまうでしょう。

「ベイジアン確率論に基づく解決入門」の章の要約
<<< 封筒に入れる金額の決まり方や封筒の選び方についてわかっていることをおさらいしてから次のように述べています。 >>>
二つの金額の小さい方がどうやって決められるか、どんな金額になりうるか、特に下限や上限があるか、明らかでないが、確率のベイジアン的解釈を使うならば、確率分布によって小額側金額に対する事前の信念を表明することから始める。
私の注： (← 2018/05/29 修正)
「確率分布によって小額側金額に対する事前の信念を表明する」という文は事前確率分布を想定することを意味すると思います。 しかし二つの封筒問題を解くためには無用だと思います。事前確率分布を特定しなくても条件付期待値の持つ性質を論じることができるからです。
<<< 続いて、小額側金額の上限下限がある場合を論じています。 >>>
私の注：先の a = 1 , 2, 4, … 512 のケースの繰り返しに見えますが、こちらは一般論なのかも知れません。
<<< 続いて、小額側金額の上限下限がない場合に話を転じます。 >>>
しかし二つの封筒の金額が限界がない場合も予想される。例えば、小額側の金額が無限個の上限のない正整数に等確率になりうるなら、どの整数についても確率はゼロになる。　この状況はimproper な事前分布の例である。
私の注：確率の総和が無限大になる improper 確率分布と、いたるところ確率がゼロになる improper 確率分布があると解釈しました。

最初の封筒の金額に上限がなく、封筒Aの金額を所与として計算した封筒Bの金額の期待値が交換を指示し、かつproper であるような確率分布を工夫することができて、このようなケースではどちらの封筒の金額の期待値も無限大である。
私の注：数学的標準説を解説する章の後にパラドキシカル分布を説明する "Second mathematical variant" という章があるので、この記述は余計だと思います。
<<< 以降、これまでの説明の繰り返しのような文が続きます。 >>>

「最初の数学的解釈に対して提案された解決」の章の要約
(2018/05/23 修正)
Nalebuff (1989), Christensen and Utts (1992), Falk and Konold (1992), Blachman, Christensen and Utts (1996),[16] Nickerson and Falk (2006), は、二つの封筒の金額に関するプレイヤーの事前の信念を表現するproper な確率分布がある場合、その確率分布の元で封筒Aの金額a が何であっても二番目の封筒が 等確率で a/2 や 2a を含むことはできない、と指摘している。 したがって常に切り換えにつながる交換議論のステップ６は不合理である。
私の注1：
これらの参考文献は次のものだと思います。
Nalebuff, Barry.(1989). 、Christensen, R; Utts, J (1992),、Falk, R., & Konold, C. (1992). 、Blachman, N. M., Christensen, R. and Utts, J. (1996). 、Nickerson, R. S., & Falk, R. (2006).
Blachman, Christensen and Utts (1996) というのはChristensen, R; Utts, J (1992),に対する ３者連名でのコメントです。
私の注2：
これらの参考文献のうちの幾つかから、特徴的な文を抜き出してみました。
  • Nalebuff, Barry.(1989).
    これは Baba が見た中身の金額によらずに、彼の封筒が高額側である確率が 1/2 だと信じていることを意味している。 これはゼロから無限大の範囲のすべての値が等確率である場合にのみ正しい。 しかし、無限個の可能性が等確率ならば、どの結果も見込みゼロでなければならない。 したがって全ての結果が見込みゼロとなり、ナンセンスである。
  • Christensen, R; Utts, J (1992),
    そのパラドックスは improper で noniformative (非有益？ 無情報？) な事前確率を使った結果であり、そのような事前確率の盲目的使用の危険性が再確認される。 (← 2018/05/25 修正)
  • Falk, R., & Konold, C. (1992).
    パズルの要点は、任意の正数 A について、他のカードが 0.5A や 2A である確率が等しい、という主張に基づいていた。 少なくとも離散確率分布の場合、それぞれの正数 A に関する要件に適合する1つの仮定は、全体集合から、例えば 2 の整数乗の中から最初の数がランダムに引き出され、次に 2倍にされたことになる。 別の言い方をすれば、最初の数が無限の一様分布からランダムに引き出されたと仮定した場合にのみ、封筒を切り替えた時の期待金額が全ての A に対して 1.25A になる。
    <<< 途中省略 >>>
    離散確率変数が一様に分布する場合、有限個の値しか想定できない。
    <<< 途中省略 >>>
    したがって、矛盾している暗黙の仮定にまで、この逆説的な結論の源を遡ることができる。
このように、上記の参考文献のうち少なくとも Christensen, R; Utts, J (1992), と Falk, R., & Konold, C. (1992). で、事前確率分布の不適切な仮定がパラドックスの原因だと書いていたようです。


「数学的詳細」の章の解説 ここでは要約でなく、解説にとどめます。

数学的標準説での期待値計算式を次のように書いています。
E(B | A=a) = E(B | A=a,A<B) × (A<B | A=a) + E(B | A=a,A>B) × P(A>B | A=a)
そして、交換議論執筆者が次のような置き換えをしたことが間違いのもとだとしています。
P (A<B | A=a) = 1/2,
P (A>B | A=a) = 1/2.
そしてこれが誤りであることを色々と説明しています。 特に小額側金額が 2 のべき乗である場合を数式を使って説明しています。

このように、数学的詳細の章というのは、単に本文の内容を数式を使って整理しただけのように見えます。

私の感想

英語版 Wikipedia の "Two envelopes problem" の記事の 09:49, 17 November 2014 の版以降、数学的標準説の解説が複雑そうに見えましたが内容は普通でした。

2011年以降に複数の編集者により大きな編集が続きました。それぞれの編集者が書いた部分をなるべく踏襲したために重複が発生したのかも知れません。小中学生にもわかる書き方、高校生でないと分からない書き方、数学的にきちっと書いた書き方の３レベルで同じ内容を書いているので重複しているように見えるのかも知れません。

数学的な正確さを期した文章がくどい文章に見えるのかも知れません。

百科事典というより論文を書いているような調子にも感じられます。 ドイツ語版やオランダ語版の Wikipedia を Google を使って英訳して読みくらべると、そう思います。

この版での数学的標準説の説明の特徴

(2018/05/22 追加)

「私の感想」で、「英語版 Wikipedia の "Two envelopes problem" の記事の 09:49, 17 November 2014 の版以降、数学的標準説の解説が複雑そうに見えましたが内容は普通でした。」と書きましたが、よく考えてみると、下記のようにかなり特殊です。 同じ "Two envelopes problem" の記事の 01:47, 17 March 2008 以前の版で数学的標準説が説明されたときの説明は普通だったので、この版で大きく方向が変わったことになります。

ちなみに、私は「不適切な事前確率分布の想定がパラドックスの原因だ」という説を「事前確率分布想定説」と呼んでいます。
"Two envelopes problem" のこの版の編集者自身もこの説の信奉者かも知れないし、パラドックスの解決のために正しい期待値計算式を提示していないのはそのためかも知れません。 (← 2018/05/25 追加)

この版より前の 10:47, 18 March 2012 の版から始まった "Bayesian" という用語の用法も大きな特徴だと思います。
事前確率分布から事後確率を計算しただけで Bayesian と呼ばれるなら、私もそうだということになります。
しかし私は Bayesian でないので、英語版 Wikipedia の"Two envelopes problem" の記事での "Bayesian" の用法は間違いだと思います。
(↑ 2018/05/23 追加)

その後の改訂

Gさんによる編集はさらに続きますが、18:21, 23 November 2014 を最後に現在 (2018/5/17) まで Gさんは筆を休めています。

18:21, 23 November 2014 の版と 09:49, 17 November 2014 の版の比較

これらの版をざっと比較したところ、次のような大きな違いがあるように思います。

私の感想

09:49, 17 November 2014 の版 の版は、18:21, 23 November 2014 の版を準備するためのいわゆる「工事中」の版だったのだと、思います。

この版以降、現在 (2018/5/17) まで大きな改版がなされていません。

最近の版の内容

(2018/05/23 追加)

18:05, 11 February 2018 の版でも、数学的標準説なのか、事前確率分布想定説なのか判然としません。

関連記事

同じ記事の2分の3説の変遷については「英語版Wikipediaの2分の3説」をご覧ください。

参考文献


用語解説



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