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2017/11/23 0:03:55
初版 2017/06/15

英語版 Wikipedia のの2分の3説 ("E=(1/2)2a + (1/2)a" 説)

変遷の概要

(2017/06/24 修正)

 このページでは 「"E=(1/2)2a + (1/2)a" 説」 を長いので 「二分の三説」 と呼ぶことにします。 "(1/2)2a + (1/2)a = (3/2)a" だからです。

英語版 Wikipedia の "Envelope paradox" や "Two envelopes problem" の記事で二分の三説の紹介の仕方は大きく変化してきました。 (← 2017/06/24 修正)
問題文の構造も大きく変化しています。

英語版 Wikipedia の記事は二つ在った

(2017/06/24 この章を追加)

"Two envelopes problem" という記事より古い "Envelope paradox" という記事があって、初版は 10:55, 26 August 2004 です。
("Two envelopes problem" の初版は 22:36, 25 August 2005)

それ以降は、二つの記事が独自に編集される時期がしばらくありました。

しかし、匿名の編集者により "Envelope paradox" の 07:47, 24 August 2006 の版から "Two envelopes problem"に最終的にリダイレクトされ、それ以降 "Envelope paradox" の記事は更新されなくなりました。

次の手順で "Envelope paradox" の内容を見ることができます。
英語版の Wikipedia を開く。
検索キーワード入力欄に "Envelope paradox" と書いて検索する。
"Two envelopes problem" の記事にリダイレクトされるので、最上部の " (Redirected from Envelope paradox)" というリンクをクリックする。
"Envelope paradoxa" の記事が開くので "View history" リンクをクリックする。

"Envelope paradox" の Talk ページの履歴は "Two envelopes problem" の Talk ページの履歴の Archive 1 に転記されているようです。

"Envelope paradox" の記事で目についた版

(2017/06/24 この章を追加)

"Envelope paradox" の 10:55, 26 August 2004 の版、初版は普通だった
"Two envelopes problem" を見慣れている私にとって驚きでしたが、 "Envelope paradox" の初版は次のように普通の内容でした。 この版以降、数学的標準説への反論を書き込んだり、数学的標準説を二分の三説で置き換えようとする編集者が現れますが編集者 G さんが懸命に阻止します。


"Envelope paradox" の 00:17, 23 December 2004 の版、数学的標準説に対する反論が書き込まれた
(2017/10/06 内容に加筆)
奇妙な版です。
数学的標準説の段落に数学的標準説に対する反論が書き込まれました。
驚いたことに "Comment: Well you assume ~" という出だしで始まっています。 Wikipedia を掲示板か何かと勘違いしたのでしょう。
他方の封筒の金額が ½A や 2A である確率は ½ とは限らないという数学的標準説は間違いだと主張しています。
この後の版でその反論が Talk ページに移動させられます。


"Envelope paradox" の 01:53, 7 June 2005 の版、数学的標準説に対する反論が再び書き込まれた上、パラドキシカル分布の説明が削除された
数学的標準説の後に続けて二組の金額ペア妄想説に似た説を主張していますが二分の三説までは進んでいません。 (← 2017/10/06 加筆)
数学的標準説への反論の内容が 17, 23 December 2004 の版と異なるので別の編集者によるものだと思います。
パラドキシカル分布の説明まで削除したことから、この編集者がよほどの数学嫌いだとわかります。
約17時間後 19:25, 7 June 2005 の版で元に戻されました。


"Envelope paradox" の 11:04, 25 June 2005 の版、初めて二分の三説が書き込まれた
変数誤用説による二分の三説数学的標準説を置き換えました。 (← 2017/10/06 加筆)
24時間たたずに 09:46, 26 June 2005 の版で元に戻されました。


"Envelope paradox" の11:00, 28 June 2005 の版、再び二分の三説が書き込まれた
(2017/10/06 標題訂正)
次のような変数誤用説の説明で数学的標準説が置き換えられました。
½(½($100) + 2($50)) = $75 (the correct answer)
18分後 (11:18, 28 June 2005の版) に元に戻されました。


"Envelope paradox" の 09:42, 30 June 2005 の版、数学的標準説への新たな反論が書き込まれた
これも奇妙な版です。
数学的標準説の段落に数学的標準説に対する反論が書き込まれました。 Wikipedia を掲示板か何かと勘違いしたのでしょう。
二つの封筒の金額の和が一定だという仮定を数学的標準説の説明の中の式に当てはめて矛盾を引き出しています。
3分後に 09:45, 30 June 2005 の版で元に戻されました。


"Envelope paradox" の 08:51, 1 August 2005 の版、議論の章が追加された
編集者の G さんにより、議論 (Discussion) の章が追加されました。
議論の章では封筒を開ける前には選んだ封筒が小額か高額かは半々だが、開けた後には半々でなくなると説明しています。
編集者の G さんは封筒を開ける前にはパラドックスが無いという考えのようです。
("Two envelopes problem" の記事のように封筒を開ける前にもパラドックスがあるという記事の編集者だったら、封筒を開ける前でも封筒の中身を想像すれば確率が半々でなくなると言わなければなりません。)


"Envelope paradox" の 16:08, 27 September 2005 の版、編集者 I さんが本格活動開始
16:08, 27 September 2005 の版から編集者 I さんが本格的に活動を開始しました。
02:44, 8 October 2005 の版で一区切りがついたようです。
16:08, 27 September 2005 の前の版と比べて 02:44, 8 October 2005 の版では参考文献のリストが充実しました。
( I さんは "Two envelopes problem" の方でもこの頃から本格的に活動を初めています。)


"Envelope paradox" の 14:30, 14 October 2005 の版、二分の三説で使う式が追加された
二分の三説で使う式が数学的標準説の前に書き加えられました。
ただし、数学的標準説への反論ではなく、封筒を交換することに意味がないことを説明することが目的のようです。
ついでに財布のゲームの説明も削除されました。


"Envelope paradox" の 14:23, 17 October 2005 の版、数学的標準説の妙な説明が追加された
G さん以外の編集者により、次のような説明が数学的標準説の段落に追加されました。
お金を入れる手順が重要で、一つ目の金額の決め方、二つ目の金額の決め方が確率に関係している。
お金を入れる手順には、二つ目が2倍、二つ目が半分、二つ目が半々の確率で2倍や半分、といった風に3種類ある。
これらを考慮すると確率が 1/2 でないことが示せる。
この説明は編集者 I さんにより 21:38, 17 January 2006 の版で削除されました。
( I さんは "Two envelopes problem" の方でも怪しげな書き込みを掃除する管理人のような役割を担っていきます。)


"Envelope paradox" の 07:47, 24 August 2006 の版、"Two envelopes problem" に最終的にリダイレクト
21:38, 17 January 2006 の版の後しばらくの間 "Two envelopes problem" にリダイレクトされたり元に戻されたりしていましたが、この版で最終的にリダイレクトされました。


"Envelope paradox" のまとめ
「"Envelope paradox" の記事に二分の三説が紛れ込むのを編集者 G さんが防いでいる間に、二分の三説者たちが "Two envelopes problem" の記事を乗っ取っとり、準備を整えてから編集戦争 (edit warring) に勝利して "Envelope paradox" の記事を人目に触れないようにした。」 ということかも知れません。
("edit warring" というのは Wikipedia 用語の一つです.。)
(↑ 2017/10/8 一部修正)


"Two envelopes problem" の記事で目についた版

(2017/06/24 に各段落のタイトルを修正)

"Two envelopes problem" の 22:36, 25 August 2005‎ の版、初版
「開けた後に交換」 型の問題文を使っているのでオリジナルの二つの封筒問題に近い形でした。 (← 2017/10/06 修正)


"Two envelopes problem" の 22:05, 3 October 2005 の版、初めての二分の三説
編集者 I さんが "Two envelopes problem" で初めて二つの封筒問題の解を紹介した版です。
編集者 I さんによる "Envelope paradox" の 21:39, 3 October 2005 の版と次のような共通点があります。 しかし、次のような大きな違いがあります。
  • 問題文が 「開ける前に交換」 型。
  • 二分の三説を第一の解として提示。 (変数誤用説を 「最も一般的な方法 (most common way)」 と形容しながら)
二分の三説の成り立たない 「開けてから交換」 型の問題を 「第2のパラドクス」 と呼びつつ、それを解く数学的標準説も紹介しているので、I さんがバランスを重視していることがわかりますが、オリジナルの二つの封筒問題は 「開けてから交換型」 なので本来はこちらの方を前に紹介すべきなので残念でした。
(↑ 2017/06/24 に修正)


"Two envelopes problem" の 20:51, 9 October 2005 の版、問題文が二分の三説に都合よく書き換えられた
(2017/07/2 追加)
編集者 I さんにより問題文の一部が大きく変更されました。

変更前

Denote by A the amount in your selected envelope. Now, suppose you reason as follows:

  1. The other envelope may contain either 2A or A/2
  2. The probability that A is the larger amount is ½, and that it's the smaller also ½
  3. If A is the smaller amount the other envelope contains 2A
  4. If A is the larger amount the other envelope contains A/2
  5. Thus, the other envelope contains 2A with probability ½ and A/2 with probability ½
    <<<以下省略>>>

変更後

Now, suppose you reason as follows:

  1. Denote by A the amount in your selected envelope
  2. The probability that A is the larger amount is ½, and that it's the smaller also ½ ← 前に出て来た!
  3. The other envelope may contain either 2A or A/2
  4. If A is the smaller amount the other envelope contains 2A
  5. If A is the larger amount the other envelope contains A/2
  6. Thus, the other envelope contains 2A with probability ½ and A/2 with probability ½
    <<<以下省略>>>

変更後は変数 A が大小二種類の値をとると解釈する人が多くなりそうです。
変更後の問題文はある有名論文の問題文とよく似ていますが、次のような違いがあります。
  • 変更後の問題文のステップ2 に対応する部分がある有名論文では "(2) Either my envelope contains the higher amount or it contains the lower amount - and these are equally probable." となっていて変数記号がない。
  • 変更後の問題文のステップ3 に対応する部分がある有名論文にない。
この改訂後最近まで、これより大きな変化はありません。

最近(2017年7月)の問題文

The switching argument: Now suppose you reason as follows:

  1. I denote by A the amount in my selected envelope.
  2. The probability that A is the smaller amount is 1/2, and that it is the larger amount is also 1/2. ← 変化なし
  3. The other envelope may contain either 2A or A/2.
  4. If A is the smaller amount, then the other envelope contains 2A.
  5. If A is the larger amount, then the other envelope contains A/2.
  6. Thus the other envelope contains 2A with probability 1/2 and A/2 with probability 1/2.
    <<<以下省略>>>

この初期の改訂こそが、"Two envelopes problem" の改訂の中で最大のものだと思います。
以後二分の三説者が編集者の主流派を占めるのは、この大改訂があればこそかも知れません。


"Two envelopes problem" の 20:17, 26 May 2010 の版、二分の三説が退けられた
数学的標準説を数学者のDevlin さんが分かりやすく説明している Webページを引用しながら、数学的標準説を説明しています。
二分の三説はどこにも書いてありません。
"Two envelopes problem" の記事に二分の三説を退けていた時代があったことが驚きです。


"Two envelopes problem" の 22:01, 20 December 2010 の版、何も説明しない版
数学的標準説を含めて何も解を説明しなくなりました。
理由は "There is no solution, which is akcepted by all scientist." (← 原文まま) ということらしいです。


"Two envelopes problem" の 03:12, 1 January 2011 の版、二分の三説復活
数学的標準説を含めて何も解を説明しない版がしばらく 続いていましたが、久々に二分の三説が復活しました。
二組の金額ペア妄想説で説明していて、変数誤用説には触れていません。
二分の三説の章の末尾で Devlin さんの Webページ (数学的標準説) を紹介しながら 「すべての科学者が受け入れた解はない」 と書いています。
この版の編集者は二分の三説が一般的でないことがわかっているのでしょう。


"Two envelopes problem" の 23:46, 3 May 2011の版、二分の三説再削除
(2017/11/22 追加)
二分の三説がわずか4ヶ月でまた削除されました。
数学的標準説は生き残っています。


"Two envelopes problem" の 00:31, 8 November 2011の版、二分の三説再復活
(2017/11/22 追加)
2011年は編集戦争が多かった年です。


"Two envelopes problem" の 10:05, 9 May 2011 の版、変数誤用説を唱える心理学者の論文が初めて本文で引用された
06:07, 23 November 2014 の変数誤用説的な記述がなくなった版までの間、二分の三説の章で引用されることになります。


"Two envelopes problem" の 01:31, 8 November 2011 の版、変数誤用説を唱える数学者の論文が初めて本文で引用された
06:07, 23 November 2014 の変数誤用説的な記述がなくなった版までの間、二分の三説の章で引用されることになります。
先の心理学者の論文といっしょに引用が削除されるのは 2014/11 なので、3年ほどの間だけ引用されていたことになります。


"Two envelopes problem" の 10:00, 9 February 2012 の版、平均値誤用説が姿を現した
編集者のGさん ("Envelope paradox" の編集者の G さんとは別人) が初めて平均値誤用説を書いた版です。
以降、2014/11/16 17:00 に平均値誤用説が前面に出るまで変数誤用説の数学的詳細 (mathematical details) として併記されることになります。


"Two envelopes problem" の 12:10, 18 March 2012 の版、変数誤用説が削除された
"Two envelopes problem" の 13:17, 18 March 2012 の版、変数誤用説が復活した
(2017/11/23 追加)
編集者のHさんが変数誤用説を削除して平均値誤用説だけにしたところ、1時間後に編集者Iさんがもとに戻しました。


"Two envelopes problem" の 14:03, 13 November 2014 の版、編集者 I さんの休筆前の最後の版
(2017/10/08、2017/10/29 修正)
2005年からずっとメインの編集者として "Two envelopes problem" の記事をお守りして来た I さんが休筆する前の最後の編集です。
2014年に勃発した編集戦争をきっかけとして、編集者 G さんが "Two envelopes problem" の記事を G さん好みに書き換えたため、この記事の編集からしばらく手を引いたというということかも知れません。 
しかし I さんが "Envelope paradox" から持ち込んだ番号付きのステップで問題文を表現するやり方が現座 (2017年06月) まで続いているので、 「"Two envelopes problem" は I さんの記事だ」 という言い方はまだ生きていると思います。
(番号付きのステップは二分の三説に都合が良いことから、この記事の編集者の中で二分の三説派が主流だということが想像できます。)


"Two envelopes problem" の 17:00, 16 November 2014 の版、平均値誤用説が前面に出た
編集者のGさんが平均値誤用説変数誤用説の前に書くようにしました。
ただし二つの封筒の小額の金額を x に固定しているので結果的に変数誤用説と同じ期待値計算式になります。
変数誤用説を唱えた数学者と心理学者の論文の引用は二分の三説の章 "Logical resolutions" から削除されていません。


"Two envelopes problem" の 06:07, 22 November 2014 の版、変数でなく平均値だと解釈変更
(2017/10/06 この段落を追加)
編集者Gさんが期待値計算式の記号が変数でなく期待値を意味しているのだという説を下記のように持ち出しました。
"A common way to resolve the paradox, both in popular literature and part of the academic literature, especially in philosophy, is to is to assume that the 'A' in step 7 is intended to be the expected value in envelope A and that we are intended to produce a formula for the expected value in envelope B."
このような解釈は私が調べた範囲では "common way" でないのでとても奇妙です。


"Two envelopes problem" の 06:07, 23 November 2014 の版、変数誤用説的な記述がなくなった
編集者Gさんが変数誤用説的な記述を削除しました。平均値誤用説で押し通しています。
変数誤用説を唱えた数学者と心理学者の論文が二分の三説の章 "Logical resolutions" から削除されました。


"Two envelopes problem" の 16:46, 12 April 2016 の版、裸の二分の三説現る
(2017/10/06 内容と表題を修正)
二分の三説を書いた "Simple resolution" という章が平均値誤用説の章の前に追加されました。
ただし、二組の金額ペア妄想説平均値誤用説も書かれていないのが特徴です。
数学が得意な人の目から見たら、このような裸の二分の三説は単なる蛇足に過ぎません。
これを書き込んだ人の目には二つの封筒問題が数学の問題ではなく 「意思決定論」 の問題に見えていて、そのため 裸の二分の三説が "resolution" に見えるのかも知れません。


"Two envelopes problem" の 02:53, 21 June 2016 の版、具体的な金額による説明が削除された
断続的ではありますが多くの版で具体的な金額で問題を説明していました。 ("Discussion"の段落)
「他方の封筒の金額は 10ドルか 40ドルのどちらかだ。」 などと問題を説明しているので、初心者がこの部分を読んだら誰も二分の三説を思いつきません。 
このような具体的な金額による説明 ("Discussion"の段落) は二分の三説にとって具合が悪いものでしたが、この版でとうとう削除されました。 (← 2017/10/06 修正)


"Two envelopes problem" の 03:24, 21 June 2016 の版、財布のゲームに似た言い回しが出てきた
(2017/10/06 標題変更)
財布のゲームに似た言い回しが期待値計算式より前に出てきました。
However, because you stand to gain twice as much money if you switch while risking only a loss of half of what you currently have, it is possible to argue that it is more beneficial to switch.
このような問題文では平均値誤用説による解、"E(Y) = (1/2) × 2 × E(X|Xは小額側) + (1/2) × (1/2) × E(X|Xは高額側)" が正解であってもおかしくなくなります。
二分の三説、とくに平均値誤用説に都合のよい問題文になったわけですが、数学的標準説の章 "5 Bayesian resolutions" に大きな変化はないので、二分の三説で全体を統一しようとしているわけではなさそうです。


"Two envelopes problem" の 10:33, 9 October 2017 の版、編集者 I さん復帰
(2017/10/29 追加)
14:03, 13 November 2014 の版を最後に休筆していた I さんが三年ぶりに復帰しました。
第1 の編集内容として、"Problem" の章の最後で次のように書いています。
<<< 途中省略 >>>
… in order to be sure not to make this mistake in a more complicated situation where the misstep may not be so obvious. In short, the problem is to solve the paradox. Thus, in particular, the puzzle is not solved by the very simple task of finding another way to calculate the probabilities that does not lead to a contradiction.
I さんの目には変数誤用説の方が数学的標準説よりも思慮が深いように見えているのかもしれません。

第2 の編集内容として、二つの封筒問題に関する文献を時系列に整理したページへのリンクを "Solutions" の章に貼っています。
そのページは 2012年に 編集者 G さんが作ってから、主に G さんと I さんがメンテナンスして来たものです。

用語解説



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