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2013/08/18 14:36:40

非条件付確率の解と条件付確率の解をつなぐもの

 このページは 事前確率と事後確率をつなぐもの というページをリニューアルしたものです。

モンティ・ホール問題の主要なとらえ方には次の3種類がある。

 非条件付確率の問題設定
ホストが扉を開ける前の段階で、将来ホストが扉を開けたら挑戦者はどうしたらよいかを考える。

 不特定事象による条件付確率の問題設定
挑戦者が選んだ扉は限定するが、ホストが選んだ扉はどちらでもよいとして、その中で挑戦者が扉を替えた方が有利かどうかを考える。

 特定事象による条件付確率の問題設定
挑戦者が選んだ扉とホストが選んだ扉を限定して、その中で挑戦者が扉を替えた方が有利かどうかを考える。


モンティ・ホール問題はこれら 3種類の問題設定により、数学の世界では別個の問題になるが、 （博打の世界では同一の問題であり続けるだろうが・・・） 不思議なことに同一の確率数値になる。

正確に言うと、標準仮定 の下で、switch して当る確率を計算するとこれら 3種類の問題設定で同一の数値になる。

ここでは、それらの確率が等しくなる理由を図解する方法をご紹介する。

非条件付確率の問題設定での確率数値

標準仮定のうち、次の条件を考える。

①当たり扉はランダムかつ等確率に設定される
②ホストは挑戦者の選んだ扉を開けない
③ホストは必ず残りの扉を一枚開ける
④ホストはハズレの扉しか開けない

これらにより、挑戦者が扉1を選らんだときの非条件付確率は下図のようになる。面積の大きい方が 2/3 で,,狭い方が 1/3 である。

不特定事象による条件付確率の問題設定での確率数値

標準仮定のうち、次の条件を考える。

②ホストは挑戦者の選んだ扉を開けない
③ホストは必ず残りの扉を一枚開ける
④ホストはハズレの扉しか開けない

これらにより、ホストがいずれかのハズレの扉を開けるという事象が、上記の非条件付確率の図の事象と独立であることがわかるので、ホストがいずれかのハズレの扉を開いたという証拠事象による条件付確率が次のようになる。


ここでの数学的なポイントは事象の独立性である。

条件付確率の問題設定での確率数値

標準仮定のうち、次の条件を考える。

①当たり扉はランダムかつ等確率に設定される
⑤ホストは挑戦者の選んだ扉が当たりのとき、ハズレ扉をランダムかつ等確率に選んで開ける
(この仮定を以後「ホストによる等確率開扉の仮定」と呼ぶこととする）

これらにより、扉2または扉3が当たりのときにホストが開けるハズレ扉の決定に対称性があることと、扉１が当たりのときにホストが開けるハズレ扉の決定に対称性があることがわかる。ゆえに、ホストがハズレ扉2 を開いたという証拠事象での条件付確率と、 ホストがハズレ扉3 を開いたという証拠事象での条件付確率が次のようになる。


ここでの数学的なポイントは対称性である。

Wikpedia(英語版) の "Monty Hall problem" の記事での扱い

"From simple to conditional by symmetry" の項で、 Gill さんが詳しく論じている。 (17:34, 22 November 2012 の版)

確率継承説との関係

確率継承説とは次のようにモンティ・ホール問題を説明する考え方である。
ホストが開ける扉の範囲が挑戦者が選ばなかった二つの扉に限定されるので、 それらの中に当りがある確率が開け残された扉に継承される。

非条件付確率の問題設定と、不特定事象による条件付確率の問題設定が事象の独立性でリンクしていることに気付いているが、不特定事象による条件付確率の問題設定と、条件付確率の問題設定の間が対称性によってリンクしていることまでは気付かなかった人の考え方と見ることができる。

そういう人は次のようなステップで考えているのだろう。

ステップ１
事象の独立性により、扉2 または扉3 が開けられた後の扉1 が当りである確率が 1/3 のままである。
ステップ2
二つの扉に分かれて分布していた確率がエネルギーか何かのように場所を変えて、開け残された扉に集中する.

ステップ2 の考え方では、 標本空間の上の 「事象」 という抽象的な客体ではなく、扉のような実体的な客体の中に確率が分布すると考えているので、「客観確率幻想」 と私は呼ぶことにしている。



用語解説



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