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2017/05/21 8:23:45
初版 2014/11/04 23:11:42以前

Web上のわかりやすい説明

2017/05/20 に他サイトのurl の記述を、サイト名と表題に改めました。

標本空間図解部門

モンティ・ホール問題や3囚人問題について、標本空間を図解した説明のうち特にわかりやすいものを集めました。(2016年9月17に整理して一つだけ残りました)
  No  
わかりやすい説明のページ
1 Wikipedia(日本語版)の「モンティ・ホール問題」の記事の「計算」の項(2011/12/06現在)の中の表
この表はWikipedia(日本語版)の「モンティ・ホール問題」の記事の2003年7月14日 (月) 15:06版で、 Mizusumashi さんが導入したもの。

【内容の抜粋】
2003年7月14日 (月) 15:06版の表をもとにセルの幅を調整したもの
プレーヤーが初めのドアを選んだ時点の確率
モンティが開けるドア合計
A(プレイ
ヤー)
BC
景品が
あるドア
A01/61/61/3
B001/31/3
C01/301/3
合計01/21/21
【解説】
確率変数の値域の直積として標本空間を図解している。
この方法は確率の定義に立った最も基本的な方法であるにも関わらず、世界のWikipediaのモンティ・ホール問題関連の記事でこの方法をとっているものを日本語版以外で見たことがありません。

特定的な証拠事象での条件付確率部門

モンティ・ホール問題や3囚人問題について、条件付確率あるいは事後確率、 すなわち、
ホストが開いた扉や、看守が名を上げた囚人を特定した範囲に絞った場合の確率を 
計算する方法のわかりやすい説明を集めました。
最近 (2012年11月)、 Wikipedia(日本語版)の 「ベイズ推定」 の記事の説明が分かりにくくなったので、この表から除きました。
  No  
わかりやすい説明のページ
1 ① tazuma さんのブログ「Essay, dated.」の
「2005-02-02 - Essay, dated.」というページ

② Yahoo!知恵袋への
「 変数変換?って具体的になんですか? 」
という so_thinking_so_action_qjqj さんの質問 に対する kjocfmm さん の回答

【解説】
この人たちの説明より簡単な条件付確率の説明を見たことがありません。
2 「福井県越前市 澤井」さんのサイト「散歩道」に掲載の
「モンティホール問題(-散歩道-)」というページ(問題文と解答例で別々のページ)

【解説】
雑誌「Newton」2009年8月号掲載のモンティホール問題の解答より分かり易い解答を試みていて、次の特徴がある。
①賞品の配置の表と場合分けの表を合体させていて、純然たる場合分けの表よりなじみやすい。
②ホストが扉を開ける前後の場合分けの表を並べて書くことで、等確率でない場合分けを理解しやすくしている。

私の条件付き確率の標本空間と扉空間合体型説明方法の考案の中の説明方法の一つに似ていながら、2009年という早い時期に書かれているので関心しました。
「福井県越前市 澤井」さんによる記事はどれも、内容充実、しかも分かりやすいので読み始めると時間を忘れる。

非条件付確率の解答部門

モンティ・ホール問題や3囚人問題について、ホストがハズレ扉を開けることや、看守が処刑される囚人の名を上げることは決定事項だとして、
ホストが開いた扉や、看守が名を上げた囚人を特定せずに確率を計算する方法 《 非条件付確率版 》 のわかりやすい説明を集めました。
  No  
わかりやすい説明のページ
1 Yahoo!知恵袋への
「今日の平成教育委員会のお年玉の確立の問題番組の回答間違えてませんでしたか? 」
という onzoahoさんの質問に対する mshinoda さん の回答

【内容の抜粋】
× | ×○ → × | ○
× | ○× → × | ○
○ | ×× → ○ | ×
交換した方が○になる確率が高い
【解説】
超!!!シンプル!!!な説明。

※この説明図を見て、矢印の左が事前確率の世界で、右が事後確率の世界だと解釈したとしたら、証拠事象による標本空間の絞り込みが行われているので、 「非条件付き確率」 でなく、 「不特定な証拠事象での条件付き確率」 の問題としての説明図だということになります。
2 Yahoo!知恵袋への
「変数変換について」
という sugiura21 さんの質問に対する riewseygo さんの回答

【内容の抜粋】
○×× --(1)
×○× --(2)
××○ --(3)
(1)では ②か③(が開けられて)、残りは ①=○か、②または③=×
(2)では ③(が開けられて)、残りは ②=○か①=×
(3)では ②(が開けられて)、残りは ③=○か①=×
【解説】
シンプルな説明。(青字は筆者の加筆)
3 きむらよしひささんによる 「きむらよしひさのブログ」 から 「モンティ・ホール問題」 のスレッド

【内容の抜粋】
ドアを選んだ後に残りのドア2枚の方を選んでも良いと司会者に言われたらどうするか。当然2枚のドアの方を選ぶだろう。
司会者がハズレのドアを開けるかどうかなんて考えなきゃいいのさ。
【解説】
きっぱりとしていて説得力が高い。
4 デジタル・デザイン・ノートというサイトの 「モンティ・ホール問題」 というページ

【解説】
モンティ・ホール問題をつくった Steve Selvin の最初の説明と同様な表を使っているが、見やすい。
日本語だからかも知れない。

条件付き確率と非条件付確率の関係部門

モンティ・ホール問題や3囚人問題について、「非条件付確率」 と 「特定的な証拠事象での条件付き確率」 の関係のわかりやすい説明を集めました。
  No  
わかりやすい説明のページ
1 Yahoo!知恵袋への
「モンティ・ホール問題でベイズの定理を使うと矛盾が起こる気がするのですが、なぜ...」
という nico_raro_hisa さんの質問に対する doahoyasan さんの回答

【内容の抜粋】
あくまでCを開けたとBを開けた場合のそれぞれの確率だけを計算したら2/3とは異なる値になるといっているだけです。
『 「どちらの扉が開いた際にも選択肢を変える」 という戦略をとった際にあたりを引く確率』 であれば偏りの有無に関わらず2/3になります。
【解説】
異なる確率値が並存する理由が説明できています。
2 Yahoo!知恵袋への
「モンティ・ホール問題でベイズの定理を使うと矛盾が起こる気がするのですが、なぜ...」
という nico_raro_hisa さんの質問そのもの

【解説】
「非条件付確率」 と 「特定的な証拠事象での条件付き確率」 の並存について人々に考えさせる貴重な質問です。
3 ①Wikipedia(日本語版)の 「ベイズ推定」 の記事の
「モンティ・ホール問題」 の項 (2013年3月19日 (火) 06:13の版)

②ドラザキッドさんのブログ 「捨てる神あれば拾う神あり」 の 2010-08-1 の記事
「モンティ・ホール問題(ベイズの定理を使わない解法)」

【解説】
どちらも条件付き確率と非条件付確率の関係を論じています。
こういった議論をしているページが少ないので貴重です。

おまじない部門

モンティ・ホール問題や3囚人問題を数学的に誤った論理で説明する「おまじない」が色々ある。
そのような「おまじない」の誤りを指摘しているページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・
  No  
わかりやすい説明のページ
1 ピエエルさんのブログ 「パズル・音楽・何かの発見の部屋」 の
「平成教育委員会のお年玉問題の解説ミス」 というページ

【解説】
おまじないの一種の「確率継承説」の誤りを示す方法がいくつか示されています。
他のページにピエエルさん作曲の合唱曲が掲載されていて、飽きず最後まで聴けました。

確率解釈論部門

モンティ・ホール問題や3囚人問題を 「条件付確率」 や 「事後確率」 の問題としてとらえると、「主観確率」、「頻度主義」、「ベイズ確率」などの 「確率解釈論」 の用語が付きまとってくる。
このような確率解釈論に属する用語のわかりやすい説明や参考になるページを集めました。
  No  
わかりやすい説明のページ
1 原宣一 先生のブログ 「宇宙用心棒の小部屋」 の
「宇宙開発特論(講義)」 のシリーズの中の
「確率は確信の度合い 2008年」

【解説】
リンクされているPDFファイルを読むと、ラプラース以来の確率概念の変遷や、頻度主義確率の非合理性がよく分かる。
E.T. Jaynes の "Probability Theory: The Logic of Science" という本に詳しく書かれているらしい。
2 岡山大学の金谷健一先生の「確率統計を学ぶにあたって」という表題のPDFファイル。
次の順序で手繰ると読める。
①「金谷健一のホームページ」の「その他の解説記事等」のリンク(和文)
②「その他の論文・解説記事等(和文)」のページの「金谷健一,確率統計を学ぶにあたって (.pdf)」のリンク

【解説】
確率統計は人為的に定義した仮想的な世界を「厳密に」支配する法則を学ぶものであるということ, 現実世界とは必ずしも対応しないということを初めからはっきり学生に教えるべきだと述べている。
3 "what_a_dude" さんのブログ、「what_a_dudeの日記」の
2012-02-11 の記事、「コンピューターエイジの統計学者-ブラッドリー・エフロン」

【解説】
これを読むと、フィッシャーなど、有名な統計数学者たちが、頻度主義とベイズ主義の中間の立場であるらしいことがわかる。
頻度主義とベイズ主義の宗教戦争もそろそろ終わるのかも知れない。
4 Wikipedia(日本語版)の 「主観確率」 の記事 (2009年1月16日 (金) 03:50の版)

【内容の抜粋】
つまり事後確率も、頻度主義から見れば一種の主観確率である。
【解説】
「主観確率」 という概念が、 「事後確率」 に対する 「頻度主義者」 の一種の態度表明であることがわかる。 言い換えれば、 「頻度主義者」 でない人にとって、 「主観確率」 という概念は無用だということがわかります。

実験部門

flash やトランプカードなどを使って、モンティ・ホール問題を実験形式で説明する教材を集めました。
(当然ながら、3囚人問題にはこのような教材は無いでしょう)
  No  
わかりやすい説明のページ
1 DOFIさんのサイト 「DOFI-BLOG どふぃぶろぐ.」 で人気のページ
「ネコでもわかるモンティホールジレンマ」
に掲載のflash アプリ (2012年01月09日現在)

【解説】
ホスト猫の側に立って、賞品の魚を隠した扉を開けないように注意しながら扉の数を2枚まで減らす実習の説得力が高い。
モンティ・ホール問題と長く付き合っている筆者がそう感じるのだから、初心者にもわかりやすいでしょう。
2 "くろべえ"さんのブログの「モンティ・ホール問題」の記事
学校の授業で生徒に実験させたときのことが書かれている。

【解説】
くろべえさんは高校か中学の先生らしい。 席が隣同士の生徒のペアごとに赤黒黒と黒赤赤のトランプを配ってゲームをさせている。 片方の生徒は変える」戦略、他方は「変えない」戦略をとらせて、それぞれ 5回勝負。 
トランプ 2組で赤52枚、黒52枚あるから、赤黒黒と黒赤赤をそれぞれ 17組つくることができて余りは2枚。. 34人までのクラスならこれで間に合う。
赤黒黒と黒赤赤で戦略の違いを表している点が特徴的。
3 通信制高校 一ツ葉高校のサイトの熊本キャンパスのキャンパスブログの
岡先生による 「モンティ・ホール問題 | 熊本キャンパスブログ | 熊本の通信制高校 一ツ葉高校」 という記事

【内容の抜粋】
ちょっと見えにくいですが、①~③と書かれた紙を用意します。うち1枚は「あたり」です。(③を「あたり」にしました。)
本当はトランプを使ってやろうと思ったのですが、近くに無かったので即席で作りました(笑)
さらに、選択の機会を与えます。
「はじめに①を選んでいるが、③に変えたければ変えてもいい」
この後どうなったかは想像にお任せします(笑)
【解説】
休憩中に生徒達にゲームを持ちかけている。
ちょっと見えにくい写真を見ると、手よりやや大きめの紙片。 これぐらいのサイズの方が授業に向いていそうである。
このゲームの後でどうなったか気になる。

4 @ByNEET さんの 「ニートが頑張るブログ.」 というブログの記事
「モンティ・ホール問題フラッシュ」に掲載のflash アプリ (2013/06/29 現在)

【解説】
ページ上部の単なる文字情報のように見えるのが flash アプリ。
動かすと勝率を表すメーターの画面に変わる。
試行反復速度が速いが、一時停止ができるので今何回目かわかる。
5 BBCのWebサイトの "NEWS MAGAZINE" の
"Stick or switch? Probability and the Monty Hall problem"というページの動画
"BBC News - Stick or switch? Probability and the Monty Hall problem"でぐぐると見つかる。(2013/09/28現在)

【解説】
数学者 Marcus du Sautoy が紙コップとその中に入るヤギ、豚、牛のフィギュア、およびミニカーを使って実験している。
紙コップやフィギュアやミニカーを大量に集めて実験している様がめずらしい。
番外 DOFIさんのサイト 「DOFI-BLOG どふぃぶろぐ.」 のページ
「ネコでも当たる仮想年末ジャンボ宝くじ」 に掲載のflash アプリ (2013年06月02日現在)

【解説】
モンティ・ホール問題とはまったく関係ないが、楽しい。

説明図がよく出来ている部門

説明図がよく出来ているものを集めてみました。
  No  
わかりやすい説明のページ
1 「NAVER まとめ」 というサイトにマシュタさんが投稿した 「モンティ・ホール問題の良く分かるまとめ」と いう記事

【解説】
選択を変えない戦略と、変える戦略のそれぞれを図解して、それぞれの勝率 (非条件付確率) を比較している。
どちらの図も、選択したドア 3とおり、当りのドア 3とおり、計 9とおりのケースを 3 × 3 のマトリックスにして、各ケースにドアと挑戦者の絵を画いている。
良く見ると、変える戦略の方の図は挑戦者がドアからドアへ移動する様が画かれていてわかりやすい。
2 生物的防除、共生微生物などの研究者 bicon さんの
「biocontrolの日記」というブログの
「2011-09-09 - biocontrolの日記」というページの
「Monty Hall problemモンティ・ホールの問題」という記事の
20110909081945.jpg という図

【解説】
非条件付き確率の説明図を画くとき、普通は当りの位置で行を変えるのに対し、この図は横一列に並べているので、超シンプルな図に見えます。
そのかわり、文字が小さくなって読みづらいのが難。

日常の確率論と数学の確率論の違いに関する部門

日常の確率論は数学の確率論とは別ものであることに気づいている人のページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・
  No  
わかりやすい説明のページ
1 "み" さんのブログ「世界を変えるその前に」の
「知能検査~親父と息子とポールエルデシュ」というページ

【解説】
"み" さんも最初は「内在的な何か」が確率であるという考えで間違った答えを出したが、「確率」という「手続き」を訓練する経験もしていたので結局は正解を出している。
"み" さんの言う「内在的な何か」が確率だと考える考え方は、私の言う「日常の確率論」に相当していて、
「確率」という「手続き」とは、私の言う「数学の確率論」に相当していそうである。

認知心理学部門

モンティ・ホール問題や3囚人問題について、認知心理学的に考察しているページや、認知心理学的考察の参考になる発言が読めるページを集めました。
  No  
わかりやすい説明のページ
1 ブログに書かれた記事に対して大勢の人が意見を述べ合うページ (多数)

【解説】
各扉の当たりの確率が 1/3 ずつだと認識した後では、ホストが扉が開けても扉の数を減らすことしかできないで悩んでいる人がいる。
そうした人たちの発言を色々なブログで見ることができる。
認知心理学の理論と照らし合わせると参考になります。
2 岡山理科大学の垣谷研究室の Web サイトの
「モンティ・ホール・ジレンマ [Solid State Laboratory Web Seminar]」 というページ (2013年3月23日現在)

【解説】
「モンティ・ホール・ジレンマは何故理解し難いのか」 の項の中で次のように認知心理学を論じている。
① 「第一には確率を定義する際の誤解であろう.」という出だしで、数学的な確率概念と日常的な確率概念が別ものであることを論じている。
② 「最後に常識との乖離,」という出だしで、「既に決定していることの確率は後から何か条件が変わったからといって変化しない,」 という常識と, 「新たな情報や状況の変化によって常に確率は変化するものだ,」 という相反する常識があることを述べている。

私が読んだモンティ・ホール問題や 3囚人問題に関する認知心理学の論文と比べても、レベルの差を (私の目には) あまり感じません。 

やっぱり不思議だという部門

読むと自分もそうだと共感するページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・
  No  
わかりやすい説明のページ
1 「MIN6」というサイトの 「モンティ・ホールのヤギ - MIN6」 というページの追記の部分。

【内容の抜粋】
でもそうした経緯をいっさい無視して、要するに残った2つのドアのどちらを選ぶか。つまり変更してもいいし、変更しなくてももいい、片方はクルマ、片方はヤギ・・・と考えると、確率は2分の1のはずです。わからん。
【解説】
同感です。

switch して当るかどうかにだけ着目した異色解答部門

モンティ・ホール問題の場合、どの扉が当りかでなく、挑戦者が扉を switch した結果に着目すると、通常とは異なる解法が編み出せます。
3囚人問題の場合は囚人を切り替えるという発想が困難なので、あまり見られません。
  No  
わかりやすい説明のページ
1 ①Wikipedia(ロシア語版)の "Парадокс Монти Холла"(モンティ・ホール パラドックス)の記事の 16:22, 27 февраля 2010 の版から使われている説明図

②OU Math Club というサイトの "What are the odds, part II" という記事に載っている、三つの伏せたカップのうち左端のカップに宝石が入っているという設定の説明図

【解説】
これらの説明図では、当りの扉を左端の扉に限定したり、当りのカップを左端のカップに限定したりしています。
挑戦者が選ぶ方の扉やカップを限定する説明図を見慣れていたので、びっくりしました。
2 ①2007年03月24日 02:16の版で、 Wikipedia(英語版) の "Monty Hall problem" の記事に加わった説明図.。 挑戦者の顔と手のイラスト。 挑戦者が選んだ賞品を示していて  2頭のヤギを Goat A, Goat B のように区別している。 一時削除されていたが 2012年11月19日 16:45の版で復活。

②2011年4月23日 (火) 14:29の版で、 Wikipedia(日本語版)の「モンティ・ホール問題」の記事に加わった 「ハズレに色を付ける」 の項

【解説】
これらの方法ではハズレ1 とハズレ2 のようにハズレの賞品を区別できるような標本空間を立てて、 3つの扉を区別しないかわりに 2つのハズレを区別して確率を計算している。
通常のモンティ・ホール問題ではハズレの賞品があるとは限らないので、 「ハズレ賞品付きモンティ・ホール問題」 という別種のモンティ・ホール問題を解いていることになります。

食欲をそそる部門

読むと食べたり飲んだりしたくなる説明を集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・
  No  
わかりやすい説明のページ
1 大阪府立大学の萱沼先生のWebページ「確率って難しい-その2」

【解説】
ビールを飲みながら、モンティ・ホール問題について楽しい話を書いている。

コミック部門

漫画が面白いページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・
  No  
わかりやすい説明のページ
1 explain xkcd というサイトの1282: Monty Hall というページ

【解説】
冒頭の漫画で、最初に開けられた扉のヤギを嬉しそうに連れ帰る人を表しています。
それに続く戦略の比較表では、扉を変更しない戦略、扉を変更する戦略に加えて、開けられた扉のヤギを連れ帰る戦略も加えて比較しています。

モンティ・ホール問題の勉強方法部門

モンティ・ホール問題の勉強方法について書かれているページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・
  No  
わかりやすい説明のページ
1 "たいち"さんが管理している Maidsphere というサイトの
"2010.11.26 - Maidsphere // メイドスフィア" というページ

【解説】
理系が調べたくなるテーマについては、英語が母語でない日本人にとっても英語版Wikipediaの方が詳しくてわかりやすいと書かれている。

モンティ・ホール問題から得られる教訓部門

モンティ・ホール問題から株式投資など、人生の諸問題の教訓を読み取っているページを集めました。
・・・まだ一つだけですが・・・
  No  
わかりやすい説明のページ
1 「Business Media 誠」 というサイトの
「現役東大生・森田徹の今週も"かしこいフリ"」 というブログの
「ドアの選び方であなたの賢さが分かる!?――モンティ・ホール問題とは (1~3/3)」 というページ

【解説】
ホストが扉を開ける仕組みを知っている挑戦者の方が知らない挑戦者より有利であることを、株式投資の教訓として、日頃から情報収集に努めることを勧めている。




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