わかるモンティ・ホール問題
(わかるモンティホールジレンマ)

なぜ答えが一致するのか

2013/08/02 にこのページを追加しました。

問題のとらえ方で見たように、モンティ・ホール問題には、次の３つのとらえ方があります。

そして、答えの出しかたで見たように、標準仮定の下では３つのとらえ方いずれも、答えの確率が 2/3 になりました。

とらえ方①と②の答えが一致するのは、扉の間の対象性が理由となります。
標準仮定が成立しなくて扉の間に対象性がない場合、例えば、当りの配置がどれかの扉に偏っていたり、ホストが開ける扉がどれかの扉に偏っていてりするととらえ方①と②の答えが一致しないことがあります。

とらえ方②と③の答えが一致するのは、ホストが挑戦者が選んだ扉1 を開けたり、当りの扉を開けたりする可能性が０だからです。
標準仮定が成立しなくてホストが挑戦者が選んだ扉1 を開けたりハズレの扉を開けたりする可能性がある場合、とらえ方③とその他の答えが一致しないことがあります。

2017/05/20 に一部訂正しました。）

下のような図を見ると、標準仮定の下で３つのとらえ方それぞれの答えが一致する理由がわかると思います。

とらえ方③から見て行きます。

とらえ方③

円グラフのような図で場合分けを図解すると下の図のようになります。

次にとらえ方②を見ます。

とらえ方②

扉1以外が当たりでも扉1が当たりでも、ホストは扉2か扉3を開けるので、「とらえ方②」の図は「とらえ方③」の図に一致します。

次にとらえ方①を見ます。

とらえ方①

ホストによるハズレ扉の開け方を見ると、扉1が当たりのときの扉2と扉3の間に対称性があり、扉1以外が当たりのときの扉2と扉3の間にも対称性があるので、「とらえ方②」の図を左右対称に分割すると「とらえ方①」の図になります。